15.45 드론 시스템의 라그랑주 동역학

1. 개요

드론은 자유 비행 항공 로봇이며, 부유 기저 동역학을 가진다. 드론의 라그랑주 동역학은 본체의 6자유도 운동을 일반화 좌표로 표현하고 라그랑주 방정식을 적용하여 유도된다. 본 절에서는 드론 시스템의 라그랑주 동역학을 다룬다.

2. 드론의 일반화 좌표

2.1 위치와 자세

드론의 일반화 좌표는 본체의 위치와 자세이다.

$\mathbf{q} = (x, y, z, \phi, \theta, \psi)^T$

여기서 $(x, y, z)$ 는 본체의 위치이고 $(\phi, \theta, \psi)$ 는 오일러 각(롤, 피치, 요)이다.

2.2 좌표계

관성 좌표계 $\{I\}$ : 지구 고정 좌표계
본체 좌표계 $\{B\}$ : 본체에 부착

2.3 회전 행렬

본체 좌표계에서 관성 좌표계로의 회전 행렬은 오일러 각의 함수이다.

$\mathbf{R}(\phi, \theta, \psi) = \mathbf{R}_z(\psi)\mathbf{R}_y(\theta)\mathbf{R}_x(\phi)$

3. 운동 에너지

3.1 병진 운동 에너지

본체의 병진 운동 에너지는

$T_{\text{trans}} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) = \frac{1}{2}m\Vert\dot{\mathbf{p}}\Vert^2$

3.2 회전 운동 에너지

본체의 회전 운동 에너지는

$T_{\text{rot}} = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$

여기서 $\boldsymbol{\omega}$ 는 본체 좌표계에서의 각속도이고 $\mathbf{I}$ 는 본체의 관성 텐서이다.

3.3 각속도와 오일러 각의 관계

본체 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 는 오일러 각의 시간 미분과 다음과 같이 관련된다.

$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{T}(\phi, \theta)\begin{bmatrix}\dot{\phi}\\\dot{\theta}\\\dot{\psi}\end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{T}$ 는 변환 행렬이다.

3.4 총 운동 에너지

$T = T_{\text{trans}} + T_{\text{rot}}$

4. 위치 에너지

4.1 중력 위치 에너지

$U = mgz$

여기서 $z$ 는 본체의 높이이다. 균일 중력장을 가정한다.

5. 라그랑지언

$L = T - U$

6. 외력과 외토크

6.1 회전익에 의한 추력

각 회전익은 회전 속도의 제곱에 비례하는 추력을 발생시킨다.

$T_i = c_T\omega_i^2$

총 추력은 본체 좌표계의 $z$ 축 방향이다.

6.2 본체 토크

회전익의 추력에 의한 토크와 반력 토크가 본체에 작용한다. 쿼드콥터의 X 형태에서 본체 토크는 다음과 같다.

$\boldsymbol{\tau}_B = \begin{bmatrix}\tau_x\\\tau_y\\\tau_z\end{bmatrix}$

각 성분은 회전익 속도의 함수이다.

6.3 일반화 힘

본체에 작용하는 힘과 토크가 일반화 좌표 공간으로 변환되어 일반화 힘이 된다.

7. 라그랑주 방정식

7.1 적용

라그랑주 방정식을 각 일반화 좌표에 대해 적용한다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i$

7.2 운동 방정식

위치 좌표 $(x, y, z)$ 에 대해

$m\ddot{x} = (\mathbf{R}\hat{\mathbf{e}}_z)_x \cdot T$

$m\ddot{y} = (\mathbf{R}\hat{\mathbf{e}}_z)_y \cdot T$

$m\ddot{z} = (\mathbf{R}\hat{\mathbf{e}}_z)_z \cdot T - mg$

여기서 $T$ 는 총 추력이다.

7.3 자세 운동 방정식

오일러 각의 운동 방정식은 더 복잡하다. 일반적으로 본체 좌표계의 오일러 방정식이 직접 사용된다.

$\mathbf{I}\dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}) = \boldsymbol{\tau}_B$

8. 단순화

8.1 작은 각도 가정

작은 각도에서는 회전 행렬이 단순화되며 운동 방정식이 선형화된다. 이는 호버 비행 부근의 분석에 유용하다.

8.2 비결합 운동

특정 가정 아래에서는 위치 운동과 자세 운동이 분리될 수 있다.

9. 부족구동성

9.1 부족구동 시스템

드론은 6자유도 운동을 가지지만 4개의 독립 입력(총 추력 + 3축 토크)만 있다. 따라서 부족구동 시스템이다.

9.2 위치 제어와 자세 제어

위치 제어는 자세를 변경하여 추력 방향을 조정함으로써 수행된다. 자세 제어가 위치 제어와 결합된다.

10. 응용

10.1 비행 시뮬레이션

드론의 정확한 시뮬레이션은 라그랑주 동역학에 기반한다.

10.2 자율 비행 제어

자율 비행 제어 알고리즘은 동역학 모형을 활용한다.

10.3 운동 계획

드론의 운동 계획은 동역학 제약을 고려한다.

11. 본 절의 의의

본 절은 드론 시스템의 라그랑주 동역학을 다루었다. 라그랑주 방법은 드론의 동역학을 우아하게 표현하며, 비행 제어와 시뮬레이션의 기반이 된다.

12. 참고 문헌

Mahony, R., Kumar, V., & Corke, P. (2012). Multirotor aerial vehicles: Modeling, estimation, and control of quadrotor. IEEE Robotics and Automation Magazine, 19(3), 20-32.
Beard, R. W., & McLain, T. W. (2012). Small Unmanned Aircraft: Theory and Practice. Princeton University Press.
Stevens, B. L., Lewis, F. L., & Johnson, E. N. (2015). Aircraft Control and Simulation (3rd ed.). Wiley.
Bouabdallah, S. (2007). Design and Control of Quadrotors with Application to Autonomous Flying. Ph.D. Thesis, EPFL.

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