15.44 비홀로노믹 이동 로봇의 라그랑주 해석

1. 개요

비홀로노믹 이동 로봇은 차륜의 구름 구속 등의 비홀로노믹 구속을 가지는 이동 로봇이다. 라그랑주 방법으로 이러한 시스템을 분석할 때 비홀로노믹 구속의 정확한 처리가 필요하다. 본 절에서는 비홀로노믹 이동 로봇의 라그랑주 해석을 자세히 다룬다.

2. 비홀로노믹 구속의 표현

2.1 미분 형식

비홀로노믹 구속은 일반적으로 미분 형식으로 표현된다.

$\sum_{j}A_{ij}(\mathbf{q})\dot{q}_j = 0, \quad i = 1, \ldots, m$

또는 행렬 형식으로

$\mathbf{A}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} = 0$

2.2 적분 불가능성

비홀로노믹 구속의 핵심 성질은 적분 불가능성이다. 즉, 위치만의 함수로 변환할 수 없다.

2.3 차륜의 구름 구속

평면 차륜의 구름 구속의 예시는 다음과 같다.

$\dot{x}\sin\theta - \dot{y}\cos\theta = 0$

이는 측면 운동을 금지한다.

3. 라그랑주 곱셈수의 도입

3.1 변형된 라그랑주 방정식

비홀로노믹 구속을 처리하기 위해 라그랑주 곱셈수를 도입한다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} + \sum_{k=1}^{m}\lambda_k A_{ki}(\mathbf{q}) = Q_i$

여기서 $\lambda_k$ 는 라그랑주 곱셈수이다.

3.2 구속력의 의미

라그랑주 곱셈수는 구속력의 크기에 해당한다. 차륜형 로봇의 경우 측면 마찰력 등이 이에 해당한다.

4. 차동 구동 로봇의 동역학

4.1 모형

차동 구동 로봇의 일반화 좌표는 $(x, y, \theta)$ 이며, 비홀로노믹 구속은 측면 운동의 금지이다.

4.2 운동 에너지

$T = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2$

4.3 라그랑지언

평지의 경우 $U = 0$ 이므로

$L = T = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2$

4.4 라그랑주 방정식

비홀로노믹 구속을 포함한 라그랑주 방정식은

$m\ddot{x} + \lambda\sin\theta = F_x$

$m\ddot{y} - \lambda\cos\theta = F_y$

$I\ddot{\theta} = \tau$

여기서 $F_x, F_y$ 는 본체에 작용하는 추진력의 성분이고 $\tau$ 는 본체에 작용하는 토크이다.

4.5 입력의 변환

차륜 토크 $\tau_R, \tau_L$ 로부터 본체 힘과 토크를 변환한다.

$F = \frac{\tau_R + \tau_L}{r}$

$\tau = \frac{(\tau_R - \tau_L)b}{2r}$

여기서 $r$ 은 차륜 반지름, $b$ 는 차륜 거리이다.

4.6 풀이

위의 방정식과 비홀로노믹 구속을 결합하여 가속도와 라그랑주 곱셈수를 결정한다.

5. 자동차형 로봇의 동역학

5.1 모형

자동차형 로봇의 일반화 좌표는 $(x, y, \theta, \delta)$ 이다. 여기서 $\delta$ 는 조향각이다.

5.2 비홀로노믹 구속

자동차형 로봇의 비홀로노믹 구속은 다음과 같다.

앞 차륜의 측면 미끄러짐 금지
뒤 차륜의 측면 미끄러짐 금지

이는 두 개의 비홀로노믹 구속을 부여한다.

5.3 분석

라그랑주 곱셈수를 도입한 라그랑주 방정식을 풀어 동역학을 결정한다.

6. 보존 법칙

6.1 운동량 보존

비홀로노믹 시스템에서는 외력이 없어도 운동량이 일반적으로 보존되지 않는다. 비홀로노믹 구속이 운동량을 변경시킬 수 있기 때문이다.

6.2 에너지 보존

비홀로노믹 구속이 가상 일을 하지 않으면 에너지는 보존된다.

7. 비홀로노믹 시스템의 운동 계획

7.1 도전 과제

비홀로노믹 시스템의 운동 계획은 일반적으로 어렵다. 직선 경로가 불가능할 수 있고 특수한 운동(예: 평행 주차)이 필요할 수 있다.

7.2 가능 경로

비홀로노믹 시스템에서도 원하는 위치에 도달하기 위한 경로가 일반적으로 존재한다. 천(Chow)의 정리가 이를 보장한다.

7.3 알고리즘

비홀로노믹 운동 계획을 위한 RRT, PRM 등의 알고리즘이 사용된다.

8. 케인의 방법

8.1 동기

라그랑주 곱셈수의 도입은 추가 미지수를 만든다. 케인의 방법(Kane’s method)은 이를 피하는 효율적인 방법이다.

8.2 일반화 속도

케인의 방법은 일반화 속도와 부분 속도를 사용하여 동역학을 표현한다.

8.3 효율성

케인의 방법은 비홀로노믹 시스템의 분석에 효율적이다.

9. 응용

9.1 자율 주행 차량

자율 주행 차량의 동역학과 운동 제어에 비홀로노믹 분석이 사용된다.

9.2 자율 이동 로봇

물류와 서비스용 자율 이동 로봇은 비홀로노믹 시스템이다.

9.3 모바일 매니퓰레이터

차륜형 모바일 매니퓰레이터는 비홀로노믹 본체와 매니퓰레이터의 결합이다.

10. 본 절의 의의

본 절은 비홀로노믹 이동 로봇의 라그랑주 해석을 다루었다. 비홀로노믹 구속의 정확한 처리는 차륜형 이동 로봇의 동역학 분석과 운동 계획에 필수적이다.

11. 참고 문헌

Bloch, A. M. (2003). Nonholonomic Mechanics and Control. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Campion, G., Bastin, G., & D’Andrea-Novel, B. (1996). Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 12(1), 47-62.
Neimark, J. I., & Fufaev, N. A. (1972). Dynamics of Nonholonomic Systems. American Mathematical Society.

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