15.4 운동 에너지의 일반화 좌표 표현

1. 개요

라그랑주 역학에서 운동 에너지는 일반화 좌표와 일반화 속도의 함수로 표현된다. 운동 에너지의 정확한 표현은 라그랑주 방정식의 유도에 필수적이다. 본 절에서는 운동 에너지의 일반화 좌표 표현 방법을 다룬다.

2. 입자계의 운동 에너지

2.1 데카르트 좌표에서의 운동 에너지

$N$ 개의 입자로 구성된 시스템의 운동 에너지는 다음과 같다.

$T = \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_i \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_i$

여기서 $m_i$ 는 입자 $i$ 의 질량이고 $\mathbf{v}_i$ 는 그 속도이다.

2.2 일반화 좌표로의 변환

각 입자의 위치가 일반화 좌표의 함수이면 그 속도는 일반화 좌표와 일반화 속도의 함수이다.

$\mathbf{v}_i = \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}$

이를 운동 에너지에 대입하면 일반화 좌표 표현이 얻어진다.

3. 운동 에너지의 일반 형식

3.1 이차 형식

스클레로노믹 시스템(시간 의존성 없음)의 경우 운동 에너지는 일반화 속도의 이차 형식이다.

$T = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} M_{ij}(\mathbf{q})\dot{q}_i\dot{q}_j = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}$

여기서 $\mathbf{M}(\mathbf{q})$ 는 관성 행렬이다.

3.2 관성 행렬의 정의

관성 행렬의 성분은 다음과 같이 계산된다.

$M_{ij}(\mathbf{q}) = \sum_{k=1}^{N} m_k \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}$

이는 부분 변위들의 가중 내적의 합이다.

3.3 레오노믹 시스템

레오노믹 시스템(시간 의존성 있음)에서는 운동 에너지가 더 일반적인 형태를 가진다.

$T = T_0(\mathbf{q}, t) + T_1(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) + T_2(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$

여기서 $T_0, T_1, T_2$ 는 각각 일반화 속도에 대한 0차, 1차, 2차 항이다.

4. 강체의 운동 에너지

4.1 병진 운동 에너지

강체의 병진 운동 에너지는 질량 중심의 속도로 표현된다.

$T_{\text{trans}} = \frac{1}{2}m\mathbf{v}_c \cdot \mathbf{v}_c = \frac{1}{2}m\Vert\mathbf{v}_c\Vert^2$

4.2 회전 운동 에너지

강체의 회전 운동 에너지는 각속도와 관성 텐서로 표현된다.

$T_{\text{rot}} = \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 강체의 관성 텐서(질량 중심 기준)이다.

4.3 총 운동 에너지

강체의 총 운동 에너지는 병진과 회전의 합이다.

$T = \frac{1}{2}m\Vert\mathbf{v}_c\Vert^2 + \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$

이는 쾨니히의 정리(König’s theorem)이다.

5. 매니퓰레이터의 운동 에너지

5.1 링크별 기여

매니퓰레이터의 운동 에너지는 각 링크의 운동 에너지의 합이다.

$T = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}m_i\Vert\mathbf{v}_{c,i}\Vert^2 + \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}_i^T\mathbf{I}_i\boldsymbol{\omega}_i\right)$

5.2 자코비안을 통한 표현

각 링크의 질량 중심 속도와 각속도는 자코비안을 통해 일반화 속도와 관련된다.

$\mathbf{v}_{c,i} = \mathbf{J}_{v,i}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}, \quad \boldsymbol{\omega}_i = \mathbf{J}_{\omega,i}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}$

이를 운동 에너지에 대입하면

$T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T\left(\sum_{i=1}^{n}(m_i\mathbf{J}_{v,i}^T\mathbf{J}_{v,i} + \mathbf{J}_{\omega,i}^T\mathbf{R}_i\mathbf{I}_i\mathbf{R}_i^T\mathbf{J}_{\omega,i})\right)\dot{\mathbf{q}}$

여기서 $\mathbf{R}_i$ 는 링크 $i$ 의 회전 행렬이다.

5.3 관성 행렬

매니퓰레이터의 관성 행렬은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{M}(\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^{n}(m_i\mathbf{J}_{v,i}^T\mathbf{J}_{v,i} + \mathbf{J}_{\omega,i}^T\mathbf{R}_i\mathbf{I}_i\mathbf{R}_i^T\mathbf{J}_{\omega,i})$

이 행렬은 대칭이고 양정행렬이다.

6. 운동 에너지의 성질

6.1 양수성

운동 에너지는 운동이 있을 때 항상 양수이다.

$T > 0 \text{ if } \dot{\mathbf{q}} \neq 0$

이는 관성 행렬의 양정성과 동등하다.

6.2 좌표 변환에 대한 불변성

운동 에너지는 시스템의 물리적 양이므로 일반화 좌표의 선택에 의존하지 않는다. 그러나 그 표현은 좌표에 따라 다르다.

6.3 시간 미분

운동 에너지의 시간 미분은 외력의 일률과 관련된다.

$\frac{dT}{dt} = \sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i \cdot \mathbf{v}_i$

이는 일률 정리이다.

7. 응용 예시

7.1 단순 진자

단순 진자의 운동 에너지는 다음과 같다.

$T = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2$

여기서 $\theta$ 는 진자의 각도이다.

7.2 자유도 매니퓰레이터

2자유도 평면 매니퓰레이터의 운동 에너지는 다음과 같이 표현된다.

$T = \frac{1}{2}M_{11}(\mathbf{q})\dot{q}_1^2 + M_{12}(\mathbf{q})\dot{q}_1\dot{q}_2 + \frac{1}{2}M_{22}(\mathbf{q})\dot{q}_2^2$

여기서 $M_{ij}$ 는 관성 행렬의 성분이며 자세에 의존한다.

7.3 자유 강체

공간에서 자유롭게 운동하는 강체의 운동 에너지는 6자유도(병진 3 + 회전 3)의 함수이다.

8. 본 절의 의의

본 절은 운동 에너지의 일반화 좌표 표현을 다루었다. 이는 라그랑지언의 정의와 라그랑주 방정식의 유도의 기반이다.

9. 참고 문헌

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
Greenwood, D. T. (2003). Advanced Dynamics. Cambridge University Press.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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