15.34 외부 토크와 외부 힘의 가상 일 표현

1. 개요

매니퓰레이터에 작용하는 외부 토크와 외부 힘은 가상 일을 통해 일반화 좌표 공간으로 변환된다. 본 절에서는 외부 토크와 외부 힘의 가상 일 표현 방법을 다룬다.

2. 가상 일의 원리

2.1 가상 변위

가상 변위는 시간을 고정한 상태에서 시스템이 가질 수 있는 무한소의 변위이다. 일반화 좌표의 가상 변위는 $\delta\mathbf{q}$ 로 표시된다.

2.2 가상 일의 정의

외력에 의한 가상 일은 다음과 같이 정의된다.

$\delta W = \sum_{i}\mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i + \sum_{j}\mathbf{M}_j\cdot\delta\boldsymbol{\theta}_j$

여기서 $\mathbf{F}_i$ 는 점에서의 힘, $\mathbf{M}_j$ 는 강체에 작용하는 모멘트, $\delta\mathbf{r}_i$ 는 작용점의 가상 변위, $\delta\boldsymbol{\theta}_j$ 는 강체의 가상 회전이다.

2.3 일반화 힘으로의 변환

가상 일을 일반화 좌표의 가상 변위로 표현하면

$\delta W = \sum_{k}Q_k\delta q_k$

이로부터 일반화 힘 $Q_k$ 가 결정된다.

3. 외력의 가상 일

3.1 점에 작용하는 힘

점 $\mathbf{r}_i(\mathbf{q})$ 에 외력 $\mathbf{F}_i$ 가 작용하는 경우, 가상 변위는

$\delta\mathbf{r}_i = \sum_{k}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\delta q_k$

가상 일은

$\delta W = \mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i = \sum_{k}\left(\mathbf{F}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\right)\delta q_k$

따라서 일반화 힘은

$Q_k = \mathbf{F}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}$

3.2 자코비안의 활용

$\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}$ 는 작용점의 위치 자코비안의 $k$ 번째 열이다.

$\mathbf{Q}^{\text{force}} = \mathbf{J}_v^T\mathbf{F}$

여기서 $\mathbf{J}_v$ 는 작용점의 선속도 자코비안이다.

4. 외부 모멘트의 가상 일

4.1 강체에 작용하는 모멘트

강체에 외부 모멘트 $\mathbf{M}$ 이 작용할 때, 강체의 가상 회전은 다음과 같이 표현된다.

$\delta\boldsymbol{\theta} = \sum_{k}\boldsymbol{\Phi}_k(\mathbf{q})\delta q_k$

여기서 $\boldsymbol{\Phi}_k$ 는 강체의 회전 자코비안의 $k$ 번째 열이다.

4.2 가상 일

$\delta W = \mathbf{M}\cdot\delta\boldsymbol{\theta} = \sum_{k}(\mathbf{M}\cdot\boldsymbol{\Phi}_k)\delta q_k$

4.3 일반화 힘

$Q_k = \mathbf{M}\cdot\boldsymbol{\Phi}_k$

행렬 형식으로

$\mathbf{Q}^{\text{moment}} = \mathbf{J}_\omega^T\mathbf{M}$

여기서 $\mathbf{J}_\omega$ 는 강체의 각속도 자코비안이다.

5. 일반화 힘과 모멘트

5.1 통합 표현

힘과 모멘트가 동시에 작용하는 경우 일반화 힘은 다음과 같다.

$\mathbf{Q} = \mathbf{J}_v^T\mathbf{F} + \mathbf{J}_\omega^T\mathbf{M}$

또는 6자유도 렌치(wrench) $\mathbf{w} = \begin{bmatrix}\mathbf{F}\\\mathbf{M}\end{bmatrix}$ 를 사용하면

$\mathbf{Q} = \mathbf{J}^T\mathbf{w}$

여기서 $\mathbf{J} = \begin{bmatrix}\mathbf{J}_v\\\mathbf{J}_\omega\end{bmatrix}$ 는 6× $n$ 자코비안이다.

5.2 자코비안의 의미

자코비안 전치 행렬은 작업 공간에서의 힘/모멘트를 일반화 좌표 공간으로 변환한다. 이는 매니퓰레이터의 정역학에서 핵심 관계이다.

6. 응용

6.1 매니퓰레이터의 말단 외력

매니퓰레이터의 말단에 외력이 작용하는 경우 다음과 같이 일반화 힘이 계산된다.

$\mathbf{Q}^{\text{end-effector}} = \mathbf{J}_e^T(\mathbf{q})\mathbf{w}_e$

여기서 $\mathbf{J}_e$ 는 말단의 자코비안이고 $\mathbf{w}_e$ 는 말단에 작용하는 렌치이다.

6.2 작업 공간 힘 제어

작업 공간 힘 제어에서 원하는 힘이 자코비안 전치 행렬을 통해 관절 토크로 변환된다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T\mathbf{F}_d$

6.3 페이로드의 처리

매니퓰레이터가 페이로드를 들고 있으면 페이로드의 무게가 외력으로 추가된다.

$\mathbf{Q}^{\text{payload}} = \mathbf{J}_e^T(0, 0, -m_p g, 0, 0, 0)^T$

여기서 $m_p$ 는 페이로드의 질량이다.

7. 가상 일의 원리의 의의

7.1 좌표 독립성

가상 일의 원리는 좌표계의 선택에 독립적이다. 어떠한 일반화 좌표를 사용해도 같은 결과가 얻어진다.

7.2 단순화

가상 일의 원리를 사용하면 복잡한 외력의 처리가 단순화된다.

7.3 정역학과 동역학의 통합

같은 원리가 정역학과 동역학 모두에 적용된다.

8. 응용 예시: 평면 매니퓰레이터의 말단 외력

8.1 모형

2자유도 평면 매니퓰레이터의 말단에 힘 $\mathbf{F} = (F_x, F_y)^T$ 가 작용한다.

8.2 자코비안

말단의 자코비안은 다음과 같다.

$\mathbf{J}_e(\mathbf{q}) = \begin{bmatrix} -l_1\sin q_1 - l_2\sin(q_1 + q_2) & -l_2\sin(q_1 + q_2) \\ l_1\cos q_1 + l_2\cos(q_1 + q_2) & l_2\cos(q_1 + q_2) \end{bmatrix}$

8.3 일반화 힘

$\mathbf{Q}^{\text{ext}} = \mathbf{J}_e^T(\mathbf{q})\mathbf{F}$

각 관절의 토크 기여를 명시적으로 계산할 수 있다.

9. 본 절의 의의

본 절은 외부 토크와 외부 힘의 가상 일 표현을 다루었다. 가상 일의 원리는 외력을 일반화 좌표 공간으로 변환하는 우아한 방법이며, 매니퓰레이터의 동역학과 제어에 핵심적이다.

10. 참고 문헌

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.

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