15.33 비보존 외력의 라그랑주 공식화
1. 개요
비보존 외력은 위치 에너지로 표현될 수 없는 힘이며, 라그랑주 방정식의 우변에 별도의 일반화 힘으로 등장한다. 본 절에서는 비보존 외력의 라그랑주 공식화 방법을 다룬다.
2. 보존력과 비보존력의 구분
2.1 보존력의 정의
보존력은 위치 에너지의 음의 기울기로 표현될 수 있는 힘이다.
\mathbf{F}_{\text{cons}} = -\nabla U
이는 보존력의 일이 경로에 의존하지 않고 시작점과 끝점에만 의존함을 의미한다.
2.2 비보존력의 정의
비보존력은 위치 에너지로 표현될 수 없는 힘이다. 다음의 특징을 가진다.
- 일이 경로에 의존
- 닫힌 경로의 일이 0이 아님
- 위치 에너지를 정의할 수 없음
2.3 예시
비보존력의 예시는 다음과 같다.
- 마찰력 (속도 의존)
- 외부 작용력 (시간 의존)
- 액추에이터 토크 (제어 입력)
- 공기 저항
3. 일반화 힘으로의 변환
3.1 가상 일의 원리
비보존 외력 \mathbf{F}_i^{\text{ext}}이 입자 i에 작용할 때, 일반화 좌표에 대한 일반화 힘은 가상 일의 원리로부터 유도된다.
\delta W^{\text{nc}} = \sum_{i}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}\cdot\delta\mathbf{r}_i = \sum_{j}Q_j^{\text{nc}}\delta q_j
여기서
Q_j^{\text{nc}} = \sum_{i}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}
3.2 자코비안을 이용한 표현
작용점에서의 외력과 일반화 힘의 관계는 자코비안 전치 행렬로 표현된다.
\mathbf{Q}^{\text{nc}} = \mathbf{J}^T\mathbf{F}^{\text{ext}}
여기서 \mathbf{J}는 작용점에 대한 자코비안이다.
3.3 매니퓰레이터의 액추에이터 토크
매니퓰레이터의 각 관절에 작용하는 액추에이터 토크는 직접 일반화 힘에 해당한다.
Q_i^{\text{nc}} = \tau_i
4. 비보존력을 포함한 라그랑주 방정식
4.1 표준 형식
비보존력을 포함한 라그랑주 방정식은 다음과 같다.
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i^{\text{nc}}
여기서 L = T - U_{\text{cons}}이고 U_{\text{cons}}는 보존력의 위치 에너지이다.
4.2 매니퓰레이터의 동역학 방정식
매니퓰레이터의 경우 비보존력은 액추에이터 토크와 외부 힘을 포함한다.
\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g} = \boldsymbol{\tau} + \mathbf{J}^T\mathbf{F}_{\text{ext}}
여기서 \boldsymbol{\tau}는 액추에이터 토크이고 \mathbf{F}_{\text{ext}}는 외부 힘이다.
5. 외력의 종류
5.1 끝점 외력
매니퓰레이터의 말단(end-effector)에 작용하는 외력은 자코비안 전치 행렬로 일반화 힘으로 변환된다.
\mathbf{Q}_{\text{ext}} = \mathbf{J}_e^T\mathbf{F}_e
여기서 \mathbf{J}_e는 말단의 자코비안이고 \mathbf{F}_e는 말단에서의 외력(또는 렌치)이다.
5.2 중간 링크의 외력
매니퓰레이터의 중간 링크에 외력이 작용하는 경우 그 작용점에 대한 자코비안이 사용된다.
5.3 분포 힘
분포 힘(예: 공기 저항)은 적분으로 표현된다.
\mathbf{Q}^{\text{dist}} = \int_{\text{body}}\mathbf{f}(\mathbf{r})\cdot\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q}\, dV
6. 액추에이터 토크의 처리
6.1 직접 토크
대부분의 매니퓰레이터에서 액추에이터가 직접 관절에 토크를 가한다. 이 경우 일반화 힘이 액추에이터 토크와 같다.
6.2 간접 액추에이션
일부 매니퓰레이터(예: 케이블 구동)에서는 액추에이터의 힘이 간접적으로 관절에 작용한다. 이 경우 액추에이션 행렬을 통해 일반화 힘으로 변환된다.
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{S}^T\mathbf{f}_{\text{actuator}}
여기서 \mathbf{S}는 액추에이션 행렬이다.
7. 외력의 변환
7.1 작업 공간 힘
매니퓰레이터의 말단에 작업 공간 힘 \mathbf{F}_x이 작용하면 관절 토크는 다음과 같다.
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q})\mathbf{F}_x
이는 정역학에서 자주 사용되는 관계이다.
7.2 임피던스 제어
임피던스 제어에서 매니퓰레이터의 말단에 가상의 임피던스 힘이 부여된다. 이 힘이 관절 토크로 변환된다.
8. 응용
8.1 환경과의 상호 작용
매니퓰레이터의 환경과의 접촉 또는 작업에서 외력이 핵심적이다.
8.2 힘 제어
힘 제어에서 외력의 정확한 모형화가 필요하다.
8.3 임피던스 제어
임피던스 제어는 외력에 대한 매니퓰레이터의 응답을 정형하는 제어 기법이다.
8.4 충격 분석
매니퓰레이터의 충격 분석에서 충격력이 외력으로 모형화된다.
9. 본 절의 의의
본 절은 비보존 외력의 라그랑주 공식화를 다루었다. 비보존 외력은 라그랑주 방정식의 우변에 등장하며, 매니퓰레이터의 다양한 응용에서 핵심적이다.
10. 참고 문헌
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
- Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
- Greenwood, D. T. (2003). Advanced Dynamics. Cambridge University Press.
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