15.30 수동성 기반 해석과 소산 시스템

1. 개요

수동성(passivity)은 시스템 이론에서 입력과 출력의 에너지 관계로 정의되는 중요한 성질이다. 매니퓰레이터는 자연스럽게 수동 시스템이며, 이 성질을 활용한 제어 기법이 발전했다. 본 절에서는 수동성 기반 해석과 소산 시스템(dissipative system)의 개념을 다룬다.

2. 수동성의 정의

2.1 형식적 정의

시스템이 수동(passive)이라 함은 다음의 부등식을 만족함을 의미한다.

$\int_{0}^{T}\mathbf{u}^T(\tau)\mathbf{y}(\tau)\, d\tau \geq -\beta^2(\mathbf{x}_0)$

여기서

$\mathbf{u}$ : 입력
$\mathbf{y}$ : 출력
$\beta(\mathbf{x}_0)$ : 초기 상태 $\mathbf{x}_0$ 에 의존하는 상수

2.2 저장 함수

수동 시스템은 저장 함수(storage function) $S(\mathbf{x}) \geq 0$ 가 존재하여 다음을 만족한다.

$\frac{dS}{dt} \leq \mathbf{u}^T\mathbf{y}$

이는 시스템에 들어가는 에너지가 저장 에너지의 변화량보다 크거나 같음을 의미한다.

2.3 엄밀한 수동성

엄밀한 수동성(strict passivity)은 다음의 조건이다.

$\frac{dS}{dt} \leq \mathbf{u}^T\mathbf{y} - \epsilon\Vert\mathbf{x}\Vert^2$

또는

$\frac{dS}{dt} \leq \mathbf{u}^T\mathbf{y} - \epsilon\Vert\mathbf{y}\Vert^2$

엄밀한 수동성은 점근적 안정성과 관련된다.

3. 소산 시스템

3.1 정의

소산 시스템(dissipative system)은 수동 시스템의 일반화이다. 다음의 부등식을 만족한다.

$\int_{0}^{T}w(\mathbf{u}, \mathbf{y})\, d\tau \geq -\beta^2(\mathbf{x}_0)$

여기서 $w(\mathbf{u}, \mathbf{y})$ 는 공급률(supply rate)이라 한다.

3.2 공급률의 종류

$w = \mathbf{u}^T\mathbf{y}$ : 수동
$w = \Vert\mathbf{u}\Vert^2 - \gamma^2\Vert\mathbf{y}\Vert^2$ : $L_2$ 게인 $\gamma$
$w = -\Vert\mathbf{y}\Vert^2$ : 안정

4. 매니퓰레이터의 수동성

4.1 매니퓰레이터 모형

매니퓰레이터의 동역학 방정식은 다음과 같다.

$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}$

4.2 입출력 정의

입력은 $\boldsymbol{\tau}$ 이고 출력은 $\dot{\mathbf{q}}$ 이다.

4.3 저장 함수

저장 함수로 총 에너지를 사용한다.

$S(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T\mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} + U(\mathbf{q})$

4.4 수동성의 증명

$S$ 의 시간 미분은 이전 절에서 보인 바와 같이

$\frac{dS}{dt} = \dot{\mathbf{q}}^T\boldsymbol{\tau}$

이는 수동성의 조건을 정확히 만족한다(엄밀히는 $S$ 가 양수가 아닐 수 있으므로 $S - U_{\min}$ 를 사용).

5. 수동성의 결합

5.1 직렬 결합

두 수동 시스템의 직렬 결합은 일반적으로 수동이 아니다. 그러나 특정 조건 아래에서는 수동성이 보존된다.

5.2 병렬 결합

두 수동 시스템의 병렬 결합은 수동이다.

5.3 피드백 결합

두 수동 시스템의 피드백 결합은 수동성을 보존한다. 즉, 수동 시스템에 수동 컨트롤러를 결합하면 폐 루프가 안정하다.

이는 매니퓰레이터의 안정한 제어 설계의 강력한 도구이다.

6. 수동성 기반 제어

6.1 PD 제어

PD 제어기는 수동이다.

$\boldsymbol{\tau} = -\mathbf{K}_p(\mathbf{q} - \mathbf{q}_d) - \mathbf{K}_v\dot{\mathbf{q}}$

저장 함수: $V_{\text{ctrl}} = \frac{1}{2}(\mathbf{q} - \mathbf{q}_d)^T\mathbf{K}_p(\mathbf{q} - \mathbf{q}_d)$ .

매니퓰레이터에 PD 제어를 적용하면 폐 루프가 수동이며 안정이다.

6.2 임피던스 제어

임피던스 제어는 매니퓰레이터에 원하는 동적 임피던스를 부여한다. 수동성을 보존하면서 환경과의 상호 작용을 가능하게 한다.

6.3 적응 제어

수동성 기반 적응 제어는 매개 변수의 추정과 제어를 결합한 강건한 방법이다. 슬로팀과 리(Slotine and Li)의 적응 제어가 그 예이다.

7. 소산 요소

7.1 마찰

매니퓰레이터의 관절 마찰은 소산 요소이다. 시스템에서 에너지를 빼앗는다.

$P_{\text{loss}} = -\dot{\mathbf{q}}^T\boldsymbol{\tau}_{\text{fric}} > 0$

이는 시스템의 안정성에 도움이 된다.

7.2 감쇠

매니퓰레이터의 다양한 감쇠 효과(공기 저항, 내부 감쇠 등)도 소산 요소이다.

8. 수동성과 안정성

8.1 수동성과 안정성의 관계

수동 시스템은 일반적으로 안정하다. 엄밀한 수동성은 점근적 안정성과 관련된다.

8.2 폐 루프 안정성

수동 매니퓰레이터에 수동 제어기를 결합하면 폐 루프가 안정하다. 이는 안정성 분석을 단순화한다.

9. 응용

9.1 안정성 증명

매니퓰레이터의 다양한 제어 알고리즘의 안정성 증명에 수동성이 사용된다.

9.2 환경 상호 작용

매니퓰레이터의 환경과의 상호 작용에서 수동성이 안전성을 보장한다.

9.3 협동 제어

여러 매니퓰레이터의 협동 제어에서 수동성이 활용된다.

9.4 텔레오퍼레이션

원격 조작 시스템에서 수동성이 안정성과 투명성의 균형을 잡는다.

10. 본 절의 의의

본 절은 수동성 기반 해석과 소산 시스템을 다루었다. 수동성은 매니퓰레이터의 안정성과 제어 설계의 강력한 도구이며, 다양한 응용에서 활용된다.

11. 참고 문헌

Ortega, R., Loria, A., Nicklasson, P. J., & Sira-Ramirez, H. (1998). Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems. Springer.
van der Schaft, A. (2017). L2-Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control (3rd ed.). Springer.
Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems (3rd ed.). Prentice Hall.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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