15.26 평면 매니퓰레이터의 라그랑주 해석

1. 개요

평면 매니퓰레이터는 운동이 평면 안에 한정된 매니퓰레이터이다. 가장 단순하고 분석이 쉬운 매니퓰레이터의 형태이며, 라그랑주 방법의 적용을 명확히 보여준다. 본 절에서는 평면 매니퓰레이터의 라그랑주 해석을 자세히 다룬다.

2. 평면 매니퓰레이터의 정의

2.1 평면 운동

평면 매니퓰레이터의 모든 링크의 운동이 한 평면 안에 한정된다. 일반적으로 수직 평면 또는 수평 평면이 사용된다.

2.2 일반화 좌표

평면 매니퓰레이터의 일반화 좌표는 각 회전 관절의 각도이다.

$\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots, q_n)^T$

2.3 자유도

$n$ 개의 회전 관절을 가진 평면 매니퓰레이터의 자유도는 $n$ 이다.

3. 자유도 평면 매니퓰레이터

3.1 운동학

링크 길이 $l_1, l_2$ , 질량 $m_1, m_2$ , 질량 중심까지의 거리 $l_{c1}, l_{c2}$ , 관성 모멘트 $I_1, I_2$ 의 평면 매니퓰레이터를 고려한다.

링크 1의 질량 중심 위치

$x_{c1} = l_{c1}\cos q_1, \quad y_{c1} = l_{c1}\sin q_1$

링크 2의 질량 중심 위치

$x_{c2} = l_1\cos q_1 + l_{c2}\cos(q_1 + q_2)$

$y_{c2} = l_1\sin q_1 + l_{c2}\sin(q_1 + q_2)$

3.2 속도

각 질량 중심의 속도는 위치를 시간에 대해 미분하여 얻는다.

링크 1

$\dot{x}_{c1} = -l_{c1}\sin q_1 \dot{q}_1$

$\dot{y}_{c1} = l_{c1}\cos q_1 \dot{q}_1$

링크 2

$\dot{x}_{c2} = -l_1\sin q_1 \dot{q}_1 - l_{c2}\sin(q_1 + q_2)(\dot{q}_1 + \dot{q}_2)$

$\dot{y}_{c2} = l_1\cos q_1 \dot{q}_1 + l_{c2}\cos(q_1 + q_2)(\dot{q}_1 + \dot{q}_2)$

3.3 운동 에너지

각 링크의 운동 에너지는 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합이다.

$T_1 = \frac{1}{2}m_1(\dot{x}_{c1}^2 + \dot{y}_{c1}^2) + \frac{1}{2}I_1\dot{q}_1^2 = \frac{1}{2}(m_1 l_{c1}^2 + I_1)\dot{q}_1^2$

$T_2 = \frac{1}{2}m_2(\dot{x}_{c2}^2 + \dot{y}_{c2}^2) + \frac{1}{2}I_2(\dot{q}_1 + \dot{q}_2)^2$

$T_2$ 를 풀어 쓰면

$T_2 = \frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{q}_1^2 + l_{c2}^2(\dot{q}_1 + \dot{q}_2)^2 + 2l_1 l_{c2}\cos q_2 \dot{q}_1(\dot{q}_1 + \dot{q}_2)] + \frac{1}{2}I_2(\dot{q}_1 + \dot{q}_2)^2$

3.4 총 운동 에너지

총 운동 에너지를 정리하면

$T = \frac{1}{2}M_{11}(\mathbf{q})\dot{q}_1^2 + M_{12}(\mathbf{q})\dot{q}_1\dot{q}_2 + \frac{1}{2}M_{22}\dot{q}_2^2$

여기서

$M_{11}(\mathbf{q}) = m_1 l_{c1}^2 + I_1 + m_2(l_1^2 + l_{c2}^2 + 2l_1 l_{c2}\cos q_2) + I_2$

$M_{12}(\mathbf{q}) = m_2(l_{c2}^2 + l_1 l_{c2}\cos q_2) + I_2$

$M_{22} = m_2 l_{c2}^2 + I_2$

3.5 위치 에너지

수직 평면의 경우 위치 에너지는 다음과 같다.

$U(\mathbf{q}) = m_1 g l_{c1}\sin q_1 + m_2 g[l_1\sin q_1 + l_{c2}\sin(q_1 + q_2)]$

수평 평면의 경우 위치 에너지는 자세에 독립적이며, 일반적으로 0으로 설정된다.

3.6 라그랑지언

$L = T - U$

3.7 운동 방정식

라그랑주 방정식을 적용하면 동역학 방정식이 얻어진다.

$M_{11}\ddot{q}_1 + M_{12}\ddot{q}_2 + h(q_2)\dot{q}_2(2\dot{q}_1 + \dot{q}_2) + g_1 = \tau_1$

$M_{21}\ddot{q}_1 + M_{22}\ddot{q}_2 + h(q_2)\dot{q}_1^2 + g_2 = \tau_2$

여기서 $h(q_2) = -m_2 l_1 l_{c2}\sin q_2$ 이고 $g_i$ 는 중력 토크의 성분이다.

4. 자유도 이상의 평면 매니퓰레이터

4.1 일반화

자유도가 더 많은 평면 매니퓰레이터의 경우 같은 방법으로 운동 방정식이 유도되지만, 식이 더 복잡해진다.

4.2 자동화

3자유도 이상의 매니퓰레이터에서는 기호 계산 도구를 사용한 자동 유도가 일반적이다.

5. 평면 매니퓰레이터의 응용

5.1 산업 응용

SCARA 매니퓰레이터는 평면 매니퓰레이터의 대표적인 산업 응용이다. 빠른 평면 운동에 사용된다.

5.2 교육적 가치

평면 매니퓰레이터는 단순하고 분석이 쉬워 매니퓰레이터 동역학 학습의 좋은 예시이다.

5.3 알고리즘 개발

새로운 제어 알고리즘이나 운동 계획 알고리즘은 평면 매니퓰레이터에서 먼저 시험되는 경우가 많다.

6. 본 절의 의의

본 절은 평면 매니퓰레이터의 라그랑주 해석을 자세히 다루었다. 이는 라그랑주 방법의 적용을 명확히 보여주며, 더 복잡한 매니퓰레이터의 분석의 기초이다.

7. 참고 문헌

Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd ed.). Pearson.

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