15.19 코리올리 행렬의 유도

1. 개요

매니퓰레이터의 동역학 방정식에서 코리올리 행렬 $\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ 는 코리올리력과 원심력을 함께 표현하는 핵심 항이다. 본 절에서는 라그랑주 방정식으로부터 코리올리 행렬의 유도와 그 형식을 자세히 다룬다.

2. 라그랑주 방정식의 분해

2.1 출발점

라그랑주 방정식은 다음과 같다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \tau_i$

여기서 $L = T - U$ 이고 $\tau_i$ 는 일반화 힘이다.

2.2 운동 에너지 항의 처리

운동 에너지가 $T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T\mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}$ 인 경우 다음의 미분이 필요하다.

$\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{j}M_{ij}(\mathbf{q})\dot{q}_j$

이 양의 시간 미분은

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{j}M_{ij}(\mathbf{q})\ddot{q}_j + \sum_{j,k}\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k}\dot{q}_k\dot{q}_j$

2.3 좌표에 대한 편미분

$\frac{\partial T}{\partial q_i} = \frac{1}{2}\sum_{j,k}\frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\dot{q}_j\dot{q}_k$

3. 라그랑주 방정식의 정리

3.1 결합

위의 결과를 라그랑주 방정식에 대입하면

$\sum_{j}M_{ij}\ddot{q}_j + \sum_{j,k}\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k}\dot{q}_k\dot{q}_j - \frac{1}{2}\sum_{j,k}\frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\dot{q}_j\dot{q}_k + \frac{\partial U}{\partial q_i} = \tau_i$

3.2 항의 분리

첫 번째 항: 관성 토크
두 번째와 세 번째 항: 코리올리력 및 원심력 토크
네 번째 항: 중력 토크

4. 코리올리 행렬의 정의

4.1 크리스토펠 기호

코리올리 행렬의 성분은 크리스토펠 기호의 1종(Christoffel symbols of the first kind)으로 정의된다.

$c_{ijk}(\mathbf{q}) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial M_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\right)$

4.2 코리올리 행렬

코리올리 행렬은 크리스토펠 기호로부터 다음과 같이 정의된다.

$C_{ij}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) = \sum_{k=1}^{n}c_{ijk}(\mathbf{q})\dot{q}_k$

4.3 동역학 방정식의 형식

이 정의로 라그랑주 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

$\sum_{j}M_{ij}(\mathbf{q})\ddot{q}_j + \sum_{j}C_{ij}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{q}_j + \frac{\partial U}{\partial q_i} = \tau_i$

또는 행렬 형식으로

$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}$

여기서 $\mathbf{g}(\mathbf{q}) = \nabla_{\mathbf{q}}U$ 는 중력 항이다.

5. 크리스토펠 기호의 성질

5.1 대칭성

크리스토펠 기호는 두 번째와 세 번째 인덱스에 대해 대칭이다.

$c_{ijk} = c_{ikj}$

이는 정의의 대칭성에서 직접 확인된다.

5.2 결합 양의 분해

코리올리력 항 $\sum_{j}C_{ij}\dot{q}_j$ 를 풀어 쓰면

$\sum_{j}C_{ij}\dot{q}_j = \sum_{j,k}c_{ijk}\dot{q}_j\dot{q}_k$

여기서 $j \neq k$ 인 항이 코리올리력 항이고 $j = k$ 인 항이 원심력 항이다.

6. 코리올리 행렬의 다양한 형식

6.1 표준 형식

위에서 정의한 형식은 표준적이며, 안정성 분석에 적합한 반대칭성을 가진다.

6.2 다른 형식

코리올리 행렬을 다른 형식으로 정의할 수 있다. 다음의 두 형식이 자주 사용된다.

$C_{ij}^{(1)} = \sum_{k}\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k}\dot{q}_k - \frac{1}{2}\sum_{k}\frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\dot{q}_k$

이는 표준 형식과 동등하다.

6.3 비유일성

코리올리 행렬은 유일하지 않다. 같은 $\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}$ 항을 산출하는 여러 형식의 행렬이 가능하다.

7. 반대칭 성질

7.1 핵심 항등식

표준 형식의 코리올리 행렬은 다음의 반대칭 성질을 만족한다.

$\dot{\mathbf{M}}(\mathbf{q}) - 2\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) = -(\dot{\mathbf{M}}(\mathbf{q}) - 2\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}))^T$

7.2 증명

$\dot{\mathbf{M}}$ 의 성분은 다음과 같다.

$\dot{M}_{ij} = \sum_{k}\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k}\dot{q}_k$

$2C_{ij}$ 를 빼면

$\dot{M}_{ij} - 2C_{ij} = \sum_{k}\left(\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} - \frac{\partial M_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\right)\dot{q}_k$

$= \sum_{k}\left(-\frac{\partial M_{ik}}{\partial q_j} + \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\right)\dot{q}_k$

이 표현은 $i, j$ 교환에 대해 부호가 변한다. 따라서 행렬 $\dot{\mathbf{M}} - 2\mathbf{C}$ 는 반대칭이다.

7.3 응용

이 반대칭 성질은 매니퓰레이터의 안정성 증명에서 핵심적으로 사용된다. 리야푸노프 함수의 시간 미분에서 코리올리 항이 사라지게 한다.

8. 응용 예시: 2자유도 평면 매니퓰레이터

8.1 관성 행렬

이전 절에서 유도한 관성 행렬을 다시 활용한다.

$M_{12} = m_2(l_{c2}^2 + l_1 l_{c2}\cos q_2) + I_2$

8.2 편미분

$\frac{\partial M_{12}}{\partial q_2} = -m_2 l_1 l_{c2}\sin q_2$

8.3 코리올리 행렬의 성분

$C_{11} = c_{112}\dot{q}_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial M_{11}}{\partial q_2}\right)\dot{q}_2 = -m_2 l_1 l_{c2}\sin q_2 \dot{q}_2$

다른 성분도 유사하게 계산된다.

9. 본 절의 의의

본 절은 라그랑주 방정식으로부터 코리올리 행렬의 유도를 자세히 다루었다. 이는 매니퓰레이터의 동역학 방정식의 표준 형식을 도출하고, 안정성 분석에 활용되는 중요한 결과이다.

10. 참고 문헌

Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Slotine, J.-J. E., & Li, W. (1991). Applied Nonlinear Control. Prentice Hall.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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