30.9 고유값의 기하학적 중복도(Geometric Multiplicity)의 정의

1. 기하학적 중복도의 형식적 정의

$A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ 의 고유값 $\lambda_i$ 에 대한 기하학적 중복도(geometric multiplicity) $d_i$ 는 고유 공간 $E_{\lambda_i}$ 의 차원이다.

$d_i = \dim(E_{\lambda_i}) = \dim(\ker(A - \lambda_i I)) = n - \text{rank}(A - \lambda_i I)$

기하학적 중복도는 고유값 $\lambda_i$ 에 대응하는 일차독립 고유벡터의 최대 개수를 나타낸다.

2. 기하학적 중복도의 범위

모든 고유값 $\lambda_i$ 에 대하여

$1 \leq d_i \leq m_i$

여기서 $m_i$ 는 $\lambda_i$ 의 대수적 중복도이다.

하한 $d_i \geq 1$ : $\lambda_i$ 가 고유값이면 $\ker(A - \lambda_i I) \neq \{0\}$ 이므로 $d_i \geq 1$ 이다.

상한 $d_i \leq m_i$ : 이 부등식의 증명은 다음 절에서 다룬다.

3. 기하학적 중복도의 계산

$d_i$ 를 구하려면 행렬 $A - \lambda_i I$ 의 계수(rank)를 계산한다.

$d_i = n - \text{rank}(A - \lambda_i I)$

구체적으로, $A - \lambda_i I$ 를 행 사다리꼴(row echelon form)으로 환원하여 피봇(pivot)의 수를 세면 계수가 결정되고, 자유 변수의 수가 기하적 중복도이다.

4. 구체적 예시

4.1 예시 1: 대수적 중복도와 기하적 중복도가 일치

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

$\lambda_1 = 3$ (대수적 중복도 $m_1 = 2$ ):

$A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad \text{rank} = 1, \quad d_1 = 3 - 1 = 2$

$d_1 = m_1 = 2$ . $\checkmark$

$\lambda_2 = 7$ (대수적 중복도 $m_2 = 1$ ):

$A - 7I = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{rank} = 2, \quad d_2 = 3 - 2 = 1$

$d_2 = m_2 = 1$ . $\checkmark$

4.2 예시 2: 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작음

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

$\lambda_1 = 3$ (대수적 중복도 $m_1 = 2$ ):

$A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad \text{rank} = 2, \quad d_1 = 3 - 2 = 1$

$d_1 = 1 < m_1 = 2$ . 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작다.

4.3 예시 3: $4 \times 4$ 행렬

$A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

$\lambda = 5$ (대수적 중복도 $m = 4$ ):

$A - 5I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{rank} = 1, \quad d = 4 - 1 = 3$

$d = 3 < m = 4$ . 이 행렬은 $5I_2 \oplus J_2(5)$ 의 블록 대각 구조를 가지며, $2 \times 2$ 조르당 블록 하나가 기하적 중복도를 1만큼 감소시킨다.

5. 기하학적 중복도의 기하학적 의미

기하학적 중복도 $d_i$ 는 고유값 $\lambda_i$ 방향의 불변 부분 공간의 차원이다. $d_i$ 개의 일차독립 방향에서 $A$ 는 순수 스케일링( $\lambda_i$ 배)으로 작용한다.

$d_i < m_i$ 인 경우, 대수적 중복도에 해당하는 차원 중 일부에서 $A$ 의 작용이 순수 스케일링이 아니라 전단(shearing) 성분을 포함한다. 이러한 전단 성분이 조르당 블록의 초대각(superdiagonal) 원소에 의해 표현된다.

6. 대각화 가능성과의 관계

정리. $A$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은 모든 고유값에 대하여 기하적 중복도가 대수적 중복도와 같은 것이다.

$A \text{가 대각화 가능} \quad \Leftrightarrow \quad d_i = m_i, \quad \forall i$

증명의 핵심. 대각화 가능이면 $n$ 개의 일차독립 고유벡터가 존재해야 한다. 서로 다른 고유값의 고유 공간은 직합이므로

$\sum_{i=1}^k d_i = n = \sum_{i=1}^k m_i$

$d_i \leq m_i$ ( $\forall i$ )와 합이 같으므로 $d_i = m_i$ ( $\forall i$ ). 역방향도 동일한 논법. $\blacksquare$

7. 결손(Defect)의 정의

고유값 $\lambda_i$ 의 **결손(defect)**은 대수적 중복도와 기하적 중복도의 차이이다.

$\text{defect}(\lambda_i) = m_i - d_i \geq 0$

결손이 $0$ 이 아닌 고유값이 하나라도 존재하면 행렬은 **결손 행렬(defective matrix)**이며 대각화 불가능하다. 결손의 총합 $\sum_i (m_i - d_i)$ 는 행렬의 대각화로부터의 “이탈 정도“를 측정한다.