30.8 고유값의 대수적 중복도(Algebraic Multiplicity)의 정의

1. 대수적 중복도의 형식적 정의

$A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ 의 특성 다항식이 $\mathbb{F}$ 위에서 다음과 같이 인수 분해된다고 하자.

$p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{m_1}(\lambda - \lambda_2)^{m_2} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{m_k} \cdot q(\lambda)$

여기서 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 는 $\mathbb{F}$ 위의 서로 다른 고유값이고, $q(\lambda)$ 는 $\mathbb{F}$ 위에서 더 이상 일차 인수로 분해되지 않는 다항식이다.

고유값 $\lambda_i$ 의 대수적 중복도(algebraic multiplicity) $m_i$ 는 특성 다항식에서 $(\lambda - \lambda_i)$ 가 인수로 나타나는 거듭제곱 지수이다.

$m_i = \text{ord}_{\lambda_i}(p_A), \quad i = 1, 2, \ldots, k$

동치적으로, $m_i$ 는 $p_A(\lambda)$ 가 $(\lambda - \lambda_i)^{m_i}$ 로 나누어지지만 $(\lambda - \lambda_i)^{m_i + 1}$ 로는 나누어지지 않는 최대 정수이다.

2. $\mathbb{C}$ 위에서의 완전 분해

복소수체 $\mathbb{C}$ 위에서는 대수학의 기본 정리에 의하여 $q(\lambda) = 1$ 이 되어

$p_A(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$

이며, 대수적 중복도의 총합은

$\sum_{i=1}^k m_i = n$

을 만족한다. 즉, 중복을 포함하여 정확히 $n$ 개의 고유값이 존재한다.

3. 대수적 중복도의 범위

모든 고유값 $\lambda_i$ 에 대하여

$1 \leq m_i \leq n$

이 성립한다. 하한 $m_i = 1$ 인 고유값을 **단순 고유값(simple eigenvalue)**이라 한다.

4. 구체적 예시

4.1 예시 1: 모든 고유값이 단순

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$p_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3)$ . 고유값 $1, 2, 3$ 각각의 대수적 중복도는 $m = 1$ 이다.

4.2 예시 2: 중복 고유값

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

$p_A(\lambda) = (\lambda - 2)^2(\lambda - 5)$ . $\lambda = 2$ 의 대수적 중복도는 $m_1 = 2$ , $\lambda = 5$ 의 대수적 중복도는 $m_2 = 1$ . $m_1 + m_2 = 3 = n$ . $\checkmark$

4.3 예시 3: 하나의 고유값만 존재

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$p_A(\lambda) = (\lambda - 3)^3$ . 유일한 고유값 $\lambda = 3$ 의 대수적 중복도는 $m = 3$ 이다. 이는 조르당 블록(Jordan block) $J_3(3)$ 이다.

4.4 예시 4: 실수 행렬의 복소 고유값

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$p_A(\lambda) = (\lambda^2 + 1)(\lambda - 2)$ .

$\mathbb{R}$ 위에서: $\lambda = 2$ 만 고유값이며 대수적 중복도 $1$ . $\lambda^2 + 1$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 기약(irreducible)이므로 실수 고유값을 제공하지 않는다.

$\mathbb{C}$ 위에서: $p_A(\lambda) = (\lambda - i)(\lambda + i)(\lambda - 2)$ . 세 고유값 $i, -i, 2$ 각각의 대수적 중복도는 $1$ 이다.

5. 대수적 중복도와 행렬의 성질

5.1 대각합과의 관계

$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^k m_i \lambda_i$

각 고유값이 대수적 중복도만큼의 가중치로 대각합에 기여한다.

5.2 행렬식과의 관계

$\det(A) = \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}$

5.3 가역성 판별

$A$ 가 비가역( $\det A = 0$ )일 필요충분조건은 $\lambda = 0$ 이 고유값인 것, 즉 $0$ 의 대수적 중복도가 $m_0 \geq 1$ 인 것이다.

5.4 멱영 행렬(Nilpotent Matrix)

$A$ 가 멱영( $A^k = 0$ 인 양의 정수 $k$ 가 존재)이면 모든 고유값이 $0$ 이다. 즉, $p_A(\lambda) = \lambda^n$ 이고, $0$ 의 대수적 중복도는 $n$ 이다.

5.5 멱등 행렬(Idempotent Matrix)

$A^2 = A$ 이면 고유값은 $0$ 또는 $1$ 만 가능하다. $p_A(\lambda) = \lambda^{n-r}(\lambda - 1)^r$ 이고, $r = \text{rank}(A)$ 이다.

6. 대수적 중복도의 이론적 의의

대수적 중복도는 고유값이 특성 다항식의 근으로서 몇 번 반복되는지를 측정하는 대수적 지표이다. 이는 고유 공간의 차원(기하적 중복도)과 비교될 때 행렬의 대각화 가능성을 판별하는 핵심 역할을 한다.

대수적 중복도가 높은 고유값은 해당 방향에서의 선형 변환의 구조가 단순한 스케일링을 넘어서 전단(shearing) 성분을 포함할 가능성을 시사한다. 이러한 분석은 조르당 표준형 이론의 출발점이 된다.