30.7 3 \times 3 행렬의 고유값 및 고유벡터 계산 절차
1. 일반적 계산 체계
3 \times 3 행렬
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
의 고유값과 고유벡터를 구하는 절차를 단계별로 제시한다.
2. 단계 1: 특성 다항식의 구성
p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^3 - s_1\lambda^2 + s_2\lambda - s_3
각 계수를 계산한다.
s_1 (대각합):
s_1 = \text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}
s_2 (2 \times 2 주소행렬식의 합):
s_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
= (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) + (a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}) + (a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32})
s_3 (행렬식):
s_3 = \det(A)
3. 단계 2: 3차 방정식의 풀이
특성 방정식 \lambda^3 - s_1\lambda^2 + s_2\lambda - s_3 = 0을 풀어 고유값을 구한다.
3.1 유리근 판별법(Rational Root Theorem)
정수 행렬의 경우, s_3의 약수를 시도하여 유리근을 찾을 수 있다. \lambda_0가 근이면 조립 제법(synthetic division)으로 이차 인수를 추출하고 나머지 근을 이차 공식으로 구한다.
\lambda^3 - s_1\lambda^2 + s_2\lambda - s_3 = (\lambda - \lambda_0)(\lambda^2 + b\lambda + c)
3.2 카르다노 공식
일반적인 경우 카르다노 공식(Cardano’s formula)을 적용할 수 있으나, 실용적 계산에서는 대부분 수치적 방법이 사용된다.
4. 단계 3: 고유벡터의 계산
각 고유값 \lambda_i에 대하여 (A - \lambda_i I)v = 0을 풀어 고유벡터를 구한다.
A - \lambda_i I는 3 \times 3 비가역 행렬이므로 \text{rank}(A - \lambda_i I) \leq 2이다. 가우스 소거법으로 행 사다리꼴로 환원하여 자유 변수를 식별하고 고유벡터를 구한다.
5. 구체적 계산 예시
5.1 예시 1: 서로 다른 세 실수 고유값
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}
상삼각 행렬이므로 고유값은 대각 성분이다: \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 5.
\lambda_1 = 2: (A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\lambda_2 = 3: (A - 3I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\lambda_3 = 5: (A - 5I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
5.2 예시 2: 일반 행렬의 계산
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}
특성 다항식 계산:
s_1 = 1 + 3 + 2 = 6
s_2 = (1 \cdot 3 - 2 \cdot 0) + (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) + (3 \cdot 2 - 0 \cdot (-4)) = 3 + 2 + 6 = 11
s_3 = \det(A) = 1(6 - 0) - 2(0 - 0) + 0 = 6
p_A(\lambda) = \lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6
근 찾기: \lambda = 1을 시도하면 1 - 6 + 11 - 6 = 0. \checkmark
조립 제법: \lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3)
고유값: \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3.
\lambda_1 = 1의 고유벡터:
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{행 축소}} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
x_2 = 0, x_1 = -x_3/2. x_3 = -2로 두면 v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}.
\lambda_2 = 2의 고유벡터:
A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{행 축소}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 자유. v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\lambda_3 = 3의 고유벡터:
A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{행 축소}} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
x_2 = -x_3/2, x_1 = x_2 = -x_3/2. x_3 = -2로 두면 v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.
검증: Av_3 = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3 \\ 2-4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} = 3v_3. \checkmark
5.3 예시 3: 중복 고유값을 갖는 행렬
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}
p_A(\lambda) = (\lambda - 2)^2(\lambda - 5).
\lambda_1 = 2 (대수적 중복도 2): E_2 = \text{span}\{e_1, e_2\}. 기하적 중복도 = 2.
\lambda_2 = 5 (대수적 중복도 1): E_5 = \text{span}\{e_3\}. 기하적 중복도 = 1.
대수적 중복도와 기하적 중복도가 모두 일치하므로 대각화 가능하다.
6. 3 \times 3 계산에서의 실용적 전략
6.1 삼각 행렬과 블록 삼각 행렬
행렬이 상삼각 또는 하삼각이면 고유값은 대각 성분이다. 블록 삼각 행렬이면 각 대각 블록의 고유값을 독립적으로 구하면 된다.
6.2 의 패턴 활용
행이나 열에 0이 많으면 여인수 전개(cofactor expansion)에서 해당 행/열을 선택하여 계산량을 줄인다.
6.3 검증
계산 결과를 다음으로 검증한다.
- \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = \text{tr}(A)
- \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = \det(A)
- 각 고유쌍 (\lambda_i, v_i)에 대하여 Av_i = \lambda_i v_i