30.6 2 \times 2 행렬의 고유값 및 고유벡터 계산 절차

1. 일반적 계산 체계

2 \times 2 행렬

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

의 고유값과 고유벡터를 구하는 체계적 절차를 제시한다.

2. 단계 1: 특성 다항식의 구성

p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{pmatrix} = (\lambda - a)(\lambda - d) - bc

전개하면

p_A(\lambda) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)

3. 단계 2: 고유값의 계산

이차 방정식 \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0의 근을 구한다.

\lambda = \frac{\text{tr}(A) \pm \sqrt{(\text{tr}\,A)^2 - 4\det A}}{2}

판별식 \Delta = (\text{tr}\,A)^2 - 4\det A에 따라 세 가지 경우가 발생한다.

3.1 경우 1: \Delta > 0 (서로 다른 두 실수 고유값)

\lambda_1 = \frac{\text{tr}(A) + \sqrt{\Delta}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{\text{tr}(A) - \sqrt{\Delta}}{2}

3.2 경우 2: \Delta = 0 (중복 실수 고유값)

\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{\text{tr}(A)}{2}

3.3 경우 3: \Delta < 0 (켤레 복소 고유값)

\lambda = \frac{\text{tr}(A)}{2} \pm i\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}

4. 단계 3: 고유벡터의 계산

각 고유값 \lambda_i에 대하여 동차 선형 계 (A - \lambda_i I)v = 0을 풀어 고유벡터를 구한다.

(A - \lambda_i I) = \begin{pmatrix} a - \lambda_i & b \\ c & d - \lambda_i \end{pmatrix}

이 행렬의 계수(rank)가 1이므로(고유값의 정의에 의해 비가역), 두 행 중 하나가 다른 행의 스칼라 배이다. 따라서 한 행만 사용하면 된다.

b \neq 0인 경우: 첫 번째 행 (a - \lambda_i)x_1 + bx_2 = 0으로부터

v_i = \begin{pmatrix} -b \\ a - \lambda_i \end{pmatrix} \quad \text{또는 동치적으로} \quad v_i = \begin{pmatrix} b \\ \lambda_i - a \end{pmatrix}

c \neq 0인 경우: 두 번째 행 cx_1 + (d - \lambda_i)x_2 = 0으로부터

v_i = \begin{pmatrix} \lambda_i - d \\ c \end{pmatrix}

b = c = 0인 경우: A가 대각 행렬이므로 \lambda_1 = a, \lambda_2 = d이고 고유벡터는 e_1, e_2이다.

5. 구체적 계산 예시

5.1 예시 1: 서로 다른 두 실수 고유값

A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

\text{tr}(A) = 7, \det(A) = 10, \Delta = 49 - 40 = 9 > 0.

\lambda_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5, \quad \lambda_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2

\lambda_1 = 5: (A - 5I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

\lambda_2 = 2: (A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}

검증: Av_1 = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} = 5v_1 \checkmark, Av_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2v_2 \checkmark

5.2 예시 2: 중복 고유값

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

\text{tr}(A) = 6, \det(A) = 9, \Delta = 36 - 36 = 0.

\lambda_1 = \lambda_2 = 3.

(A - 3I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0 \Rightarrow v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

고유 공간 E_3 = \text{span}\{e_1\}의 차원은 1이다. 대수적 중복도 2와 기하적 중복도 1이 다르므로 이 행렬은 대각화 불가능하다.

5.3 예시 3: 켤레 복소 고유값

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

\text{tr}(A) = 2, \det(A) = 3, \Delta = 4 - 12 = -8 < 0.

\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}

\lambda_1 = 1 + i\sqrt{2}: (A - \lambda_1 I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -i\sqrt{2} & -2 \\ 1 & -i\sqrt{2} \end{pmatrix}v = 0

첫 번째 행: -i\sqrt{2} x_1 - 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{-2}{i\sqrt{2}}x_2 = i\sqrt{2} x_2

v_1 = \begin{pmatrix} i\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}

\lambda_2 = \overline{\lambda_1}에 대한 고유벡터는 v_2 = \overline{v_1} = \begin{pmatrix} -i\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}이다.

5.4 예시 4: 대칭 행렬

A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

\text{tr}(A) = 7, \det(A) = 6, \Delta = 49 - 24 = 25.

\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = 1

v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}

v_1 \cdot v_2 = -2 + 2 = 0. 대칭 행렬이므로 서로 다른 고유값의 고유벡터가 직교한다. \checkmark

6. 빠른 계산을 위한 관찰

2 \times 2 행렬의 고유값 계산에서 다음의 관계를 활용하면 효율적이다.

\lambda_1 + \lambda_2 = \text{tr}(A), \quad \lambda_1 \lambda_2 = \det(A)

이 두 관계만으로 \lambda_1, \lambda_2를 결정할 수 있다. 특히 \text{tr}(A)와 \det(A)의 부호로 고유값의 부호를 빠르게 판별할 수 있다.