30.2 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)의 형식적 정의

1. 선형 변환에 대한 정의

$V$ 를 체 $\mathbb{F}$ 위의 벡터 공간이라 하고, $T : V \to V$ 를 선형 변환(자기사상, endomorphism)이라 하자.

정의. 스칼라 $\lambda \in \mathbb{F}$ 가 $T$ 의 **고유값(eigenvalue)**이라 함은 다음을 만족하는 비영 벡터 $v \in V$ ( $v \neq 0$ )가 존재하는 것이다.

$T(v) = \lambda v$

이 조건을 만족하는 비영 벡터 $v$ 를 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 **고유벡터(eigenvector)**라 한다. 순서쌍 $(\lambda, v)$ 를 **고유쌍(eigenpair)**이라 한다.

주의. 영 벡터 $v = 0$ 은 모든 $\lambda$ 에 대하여 $T(0) = \lambda \cdot 0 = 0$ 을 만족하지만, 정의에 의해 고유벡터에서 제외된다.

2. 행렬에 대한 정의

$A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ 가 $n \times n$ 정방 행렬일 때, 고유값 문제는

$Av = \lambda v, \quad v \in \mathbb{F}^n, \quad v \neq 0$

이다. 이를 $(A - \lambda I)v = 0$ 으로 변환하면, $\lambda$ 가 $A$ 의 고유값일 필요충분조건은

$\det(A - \lambda I) = 0$

이다. 이 조건은 동차 선형 계 $(A - \lambda I)v = 0$ 이 자명하지 않은(nontrivial) 해를 갖는 것, 즉 $A - \lambda I$ 가 비가역(singular)인 것과 동치이다.

3. 고유 공간(Eigenspace)

고유값 $\lambda$ 에 대한 **고유 공간(eigenspace)**은

$E_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{v \in \mathbb{F}^n \mid Av = \lambda v\}$

로 정의된다. $E_\lambda$ 는 $\mathbb{F}^n$ 의 부분 공간(subspace)이다. $E_\lambda$ 는 영 벡터를 포함하지만, 고유벡터는 $E_\lambda \setminus \{0\}$ 의 원소이다.

증명 ( $E_\lambda$ 가 부분 공간임). $v_1, v_2 \in E_\lambda$ 이면 $A(v_1 + v_2) = Av_1 + Av_2 = \lambda v_1 + \lambda v_2 = \lambda(v_1 + v_2)$ 이므로 $v_1 + v_2 \in E_\lambda$ . $\alpha \in \mathbb{F}$ 이면 $A(\alpha v_1) = \alpha Av_1 = \alpha \lambda v_1 = \lambda(\alpha v_1)$ 이므로 $\alpha v_1 \in E_\lambda$ . $\blacksquare$

4. 스펙트럼

행렬 $A$ 의 모든 고유값의 집합을 $A$ 의 **스펙트럼(spectrum)**이라 하며 $\sigma(A)$ 로 표기한다.

$\sigma(A) = \{\lambda \in \mathbb{F} \mid \det(A - \lambda I) = 0\}$

5. 기본적 예시

5.1 예시 1: 대각 행렬

$A = \text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$ 이면 고유값은 $\lambda_i = d_i$ 이고, 대응하는 고유벡터는 표준 기저 벡터 $e_i$ 이다.

$Ae_i = d_i e_i$

5.2 예시 2: $2 \times 2$ 행렬

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

특성 다항식: $\det(\lambda I - A) = (\lambda - 4)(\lambda - 3) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$

고유값: $\lambda_1 = 5$ , $\lambda_2 = 2$ .

$\lambda_1 = 5$ : $(A - 5I)v = 0$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}v = 0$ $\Rightarrow$ $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$ : $(A - 2I)v = 0$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}v = 0$ $\Rightarrow$ $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

5.3 예시 3: 항등 행렬

$I_n$ 의 유일한 고유값은 $\lambda = 1$ 이며, 모든 비영 벡터가 고유벡터이다. $E_1 = \mathbb{F}^n$ .

5.4 예시 4: 영 행렬

$O_n$ 의 유일한 고유값은 $\lambda = 0$ 이며, 모든 비영 벡터가 고유벡터이다. $E_0 = \mathbb{F}^n$ .

5.5 예시 5: 고유값이 존재하지 않는 경우 (실수 체)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (90도 회전)

특성 다항식: $\lambda^2 + 1 = 0$ . $\mathbb{R}$ 에서 근이 없다. 따라서 $\mathbb{R}$ 위에서 고유값이 존재하지 않는다.

그러나 $\mathbb{C}$ 위에서는 $\lambda = \pm i$ 가 고유값이다.

6. 고유벡터의 일차독립성

6.1 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터

정리. 서로 다른 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 에 대응하는 고유벡터 $v_1, v_2, \ldots, v_k$ 는 일차독립이다.

증명. $k$ 에 대한 귀납법. $k = 1$ : $v_1 \neq 0$ 이므로 일차독립.

$k-1$ 까지 성립한다고 가정하자. $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0$ $\cdots (*)$ 이라 하자. $(*)$ 에 $A$ 를 적용하면 $c_1 \lambda_1 v_1 + \cdots + c_k \lambda_k v_k = 0$ $\cdots (**)$ . $(**) - \lambda_k \cdot (*)$ : $c_1(\lambda_1 - \lambda_k)v_1 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)v_{k-1} = 0$ . 귀납 가설에 의해 $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$ ( $i = 1, \ldots, k-1$ ). $\lambda_i \neq \lambda_k$ 이므로 $c_i = 0$ . $(*)$ 에 대입하면 $c_k v_k = 0$ 이므로 $c_k = 0$ . $\blacksquare$

6.2 동일 고유값의 고유벡터

동일 고유값의 서로 다른 고유벡터는 일차독립일 수도, 일차종속일 수도 있다. 동일 고유값의 고유벡터의 임의의 비영 일차결합도 같은 고유값의 고유벡터이다.

7. 고유값의 기본 성질

성질	공식
고유값의 합	$\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A)$
고유값의 곱	$\prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(A)$
$A^k$ 의 고유값	$\lambda_i^k$ (동일한 고유벡터)
$A^{-1}$ 의 고유값	$1/\lambda_i$ ( $\lambda_i \neq 0$ 일 때)
$A + cI$ 의 고유값	$\lambda_i + c$
$cA$ 의 고유값	$c\lambda_i$

이 성질들은 고유값의 정의와 다항식의 근-계수 관계(Vieta’s formulas)로부터 직접 도출된다.