30.15 대각화의 절차: 고유벡터 행렬과 고유값 대각 행렬의 구성

1. 대각화 절차의 개요

$n \times n$ 행렬 $A$ 의 대각화 $A = PDP^{-1}$ 을 구성하는 절차는 다음의 네 단계로 이루어진다.

특성 다항식의 계산과 고유값 결정
각 고유값에 대한 고유 공간의 기저 계산
대각화 가능성 판별
고유벡터 행렬 $P$ 와 대각 행렬 $D$ 의 구성

2. 단계 1: 고유값의 결정

특성 다항식 $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 를 계산하고, $p_A(\lambda) = 0$ 의 근을 구한다.

$p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{m_1}(\lambda - \lambda_2)^{m_2} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{m_k}$

서로 다른 고유값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 와 각각의 대수적 중복도 $m_1, \ldots, m_k$ 를 기록한다. $\sum_{i=1}^k m_i = n$ 이어야 한다.

3. 단계 2: 고유 공간의 기저 계산

각 고유값 $\lambda_i$ 에 대하여 동차 선형 계

$(A - \lambda_i I)v = 0$

을 풀어 고유 공간 $E_{\lambda_i} = \ker(A - \lambda_i I)$ 의 기저를 구한다.

구체적 절차:

$A - \lambda_i I$ 를 구성한다.
가우스 소거법으로 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)로 환원한다.
자유 변수를 식별하고, 자유 변수에 단위값을 순차적으로 대입하여 기저 벡터를 구한다.

기하학적 중복도 $d_i = \dim(E_{\lambda_i})$ 를 확인한다.

4. 단계 3: 대각화 가능성 판별

모든 고유값에 대하여 $d_i = m_i$ 인지 확인한다.

모든 $i$ 에서 $d_i = m_i$ 이면 대각화 가능하다. 단계 4로 진행한다.
어떤 $i$ 에서 $d_i < m_i$ 이면 대각화 불가능이다. 절차를 종료한다.

5. 단계 4: $P$ 와 $D$ 의 구성

5.1 고유벡터 행렬 $P$

각 고유 공간의 기저 벡터를 열로 배치하여 $n \times n$ 행렬 $P$ 를 구성한다.

$P = (v_1 \mid v_2 \mid \cdots \mid v_n)$

열의 순서는 자유롭게 선택할 수 있으나, $D$ 의 대각 성분의 순서와 일치시켜야 한다.

5.2 고유값 대각 행렬 $D$

$D = \begin{pmatrix} \lambda_{(1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{(2)} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{(n)} \end{pmatrix}$

$D$ 의 $j$ 번째 대각 성분 $\lambda_{(j)}$ 는 $P$ 의 $j$ 번째 열 $v_j$ 에 대응하는 고유값이다.

5.3 대응 관계의 핵심

$P$ 의 $j$ 번째 열과 $D$ 의 $j$ 번째 대각 성분은 반드시 동일한 고유쌍에 속해야 한다. 즉, $Av_j = \lambda_{(j)} v_j$ .

6. 완전 계산 예시

6.1 예시 1: $3 \times 3$ 행렬의 대각화

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

단계 1: 하삼각 행렬이므로 고유값은 대각 성분이다.

$p_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 3)^2$

$\lambda_1 = 1$ ( $m_1 = 1$ ), $\lambda_2 = 3$ ( $m_2 = 2$ ).

단계 2:

$\lambda_1 = 1$ :

$A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x_3$ 자유. $x_1 = x_3$ , $x_2 = -x_3$ . $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . $d_1 = 1 = m_1$ . $\checkmark$

$\lambda_2 = 3$ :

$A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x_3$ 자유. $x_1 = 0$ , $x_2 = 0$ . $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . $d_2 = 1$ .

$d_2 = 1 < m_2 = 2$ 이므로 대각화 불가능이다.

6.2 예시 2: 대각화 가능한 $3 \times 3$ 행렬

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9 \end{pmatrix}$

단계 1:

$p_A(\lambda) = (\lambda - 2)[(\lambda - 3)(\lambda - 9) - 16] = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 12\lambda + 11) = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda - 11)$

$\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = 2$ , $\lambda_3 = 11$ . 모두 단순 고유값이므로 대각화 가능하다.

단계 2:

$\lambda_1 = 1$ : $(A - I)v = 0$ $\Rightarrow$ $v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$ : $(A - 2I)v = 0$ $\Rightarrow$ $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = 11$ : $(A - 11I)v = 0$ $\Rightarrow$ $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

단계 4:

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{pmatrix}$

검증: $AP$ 의 각 열이 $\lambda_i v_i$ 임을 확인한다.

$AP$ 의 1열: $A\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix} = 1 \cdot v_1$ . $\checkmark$

$AP$ 의 2열: $A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} = 2 \cdot v_2$ . $\checkmark$

$AP$ 의 3열: $A\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\11\\22\end{pmatrix} = 11 \cdot v_3$ . $\checkmark$

7. 중복 고유값의 처리

중복 고유값이 존재하고 $d_i = m_i$ 인 경우, 해당 고유 공간의 $d_i$ 개 기저 벡터를 $P$ 의 연속된 열로 배치한다. $D$ 의 대응하는 대각 성분은 모두 $\lambda_i$ 가 된다.

$P = (\cdots \mid v_{i,1} \mid v_{i,2} \mid \cdots \mid v_{i,d_i} \mid \cdots), \quad D = \text{diag}(\cdots, \underbrace{\lambda_i, \lambda_i, \ldots, \lambda_i}_{d_i\text{개}}, \cdots)$

8. 실용적 고려 사항

8.1 고유벡터의 스케일링

고유벡터는 비영 스칼라 배의 자유도를 가진다. 실용적으로는 정수 성분을 갖도록 스케일링하거나, 단위 벡터( $\|v\| = 1$ )로 정규화하는 것이 일반적이다.

8.2 열 순서의 선택

$P$ 의 열 순서(따라서 $D$ 의 대각 성분 순서)는 자유롭게 선택할 수 있다. 고유값을 크기 순으로 정렬하거나 절대값 순으로 정렬하는 것이 통상적이다.

8.3 $P^{-1}$ 의 계산

$A = PDP^{-1}$ 관계에서 $P^{-1}$ 이 명시적으로 필요한 경우, 가우스-조르단 소거법 또는 수반 행렬 공식으로 계산한다. 대칭 행렬의 경우 $P$ 를 직교 행렬로 취하면 $P^{-1} = P^T$ 이므로 역행렬 계산이 불필요하다.