30.13 상이한 고유값에 대응하는 고유벡터의 선형 독립성 정리

1. 정리의 진술

정리 (상이한 고유값의 고유벡터 일차독립성). $A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ 의 서로 다른 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ ( $k \leq n$ )에 대하여, 각 고유값에 대응하는 고유벡터 $v_1, v_2, \ldots, v_k$ 는 일차독립이다.

$\lambda_i \neq \lambda_j \; (i \neq j), \quad Av_i = \lambda_i v_i, \quad v_i \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad \{v_1, v_2, \ldots, v_k\} \text{는 일차독립}$

2. 증명

$k$ 에 대한 수학적 귀납법(mathematical induction)으로 증명한다.

2.1 기저 단계 ( $k = 1$ )

$v_1$ 은 고유벡터이므로 $v_1 \neq 0$ 이다. 단일 비영 벡터로 이루어진 집합 $\{v_1\}$ 은 일차독립이다.

2.2 귀납 가설

$k - 1$ 개의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터의 집합이 일차독립이라고 가정하라.

2.3 귀납 단계

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0$ 이라 가정하고 모든 $c_i = 0$ 임을 보인다.

등식 $\sum_{i=1}^k c_i v_i = 0$ 의 양변에 $A$ 를 적용하면

$\sum_{i=1}^k c_i Av_i = \sum_{i=1}^k c_i \lambda_i v_i = 0 \quad \cdots \text{(I)}$

원래 등식에 $\lambda_k$ 를 곱하면

$\sum_{i=1}^k c_i \lambda_k v_i = 0 \quad \cdots \text{(II)}$

(I) $-$ (II)를 계산하면

$\sum_{i=1}^{k-1} c_i (\lambda_i - \lambda_k) v_i = 0 \quad \cdots \text{(III)}$

귀납 가설에 의하여 $\{v_1, v_2, \ldots, v_{k-1}\}$ 은 일차독립이다. 따라서 (III)에서

$c_i (\lambda_i - \lambda_k) = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, k-1$

$\lambda_i \neq \lambda_k$ ( $i \neq k$ )이므로 $\lambda_i - \lambda_k \neq 0$ 이다. 따라서

$c_i = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, k-1$

원래 등식에 대입하면 $c_k v_k = 0$ 이고 $v_k \neq 0$ 이므로 $c_k = 0$ 이다.

모든 $c_i = 0$ 이 확인되었으므로 $\{v_1, v_2, \ldots, v_k\}$ 은 일차독립이다. $\blacksquare$

3. 정리의 일반화: 고유 공간 기저의 합집합

위 정리를 각 고유 공간의 기저 전체로 확장할 수 있다.

정리 (확장된 일차독립성). 서로 다른 고유값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 에 대하여, 각 고유 공간 $E_{\lambda_i}$ 의 기저 $\mathcal{B}_i = \{v_{i,1}, \ldots, v_{i,d_i}\}$ 를 취하면 합집합

$\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 \cup \cdots \cup \mathcal{B}_k = \{v_{1,1}, \ldots, v_{1,d_1}, v_{2,1}, \ldots, v_{2,d_2}, \ldots, v_{k,1}, \ldots, v_{k,d_k}\}$

는 일차독립이다.

증명. $\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{d_i} c_{ij} v_{ij} = 0$ 이라 하자. $w_i = \sum_{j=1}^{d_i} c_{ij} v_{ij} \in E_{\lambda_i}$ 로 두면 $\sum_{i=1}^k w_i = 0$ 이다.

각 $w_i$ 는 고유값 $\lambda_i$ 의 고유벡터이거나 영 벡터이다. $w_i \neq 0$ 인 것이 존재한다면 서로 다른 고유값에 대응하는 비영 벡터들의 일차종속 관계가 발생하여 위의 기본 정리에 모순이다.

따라서 $w_i = 0$ ( $\forall i$ )이다. 각 $\mathcal{B}_i$ 는 $E_{\lambda_i}$ 의 기저이므로 일차독립이고, $w_i = \sum_j c_{ij} v_{ij} = 0$ 에서 $c_{ij} = 0$ ( $\forall j$ )이다. $\blacksquare$

4. 따름정리: 대각화 가능 충분조건

따름정리 1. $n \times n$ 행렬이 $n$ 개의 서로 다른 고유값을 가지면 대각화 가능하다.

증명. $n$ 개의 서로 다른 고유값에 대응하는 $n$ 개의 고유벡터가 일차독립이므로 $\mathbb{F}^n$ 의 기저를 이룬다. $\blacksquare$

따름정리 2. $n \times n$ 행렬의 일차독립 고유벡터의 최대 수는

$\sum_{i=1}^k \dim(E_{\lambda_i}) = \sum_{i=1}^k d_i$

이며, 대각화 가능할 필요충분조건은 $\sum d_i = n$ 인 것이다.

5. 구체적 예시

5.1 예시 1: $3 \times 3$ 행렬

$A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

고유값: $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 3$ . 고유벡터: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

$\lambda_1 \neq \lambda_2$ 이므로 정리에 의해 $\{v_1, v_2\}$ 는 일차독립이다.

직접 검증: $\det(v_1 \mid v_2) = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -1 \neq 0$ . $\checkmark$

5.2 예시 2: 세 고유벡터의 일차독립성

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}$

고유값: $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = 2$ , $\lambda_3 = 3$ . 고유벡터: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ , $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ .

세 고유값이 모두 다르므로 $\{v_1, v_2, v_3\}$ 은 일차독립이다.

5.3 예시 3: 정리의 역은 성립하지 않음

일차독립인 고유벡터 집합이 반드시 서로 다른 고유값에 대응할 필요는 없다. 예를 들어

$A = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

에서 $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_2$ 는 동일한 고유값 $\lambda = 5$ 의 일차독립 고유벡터이다.

6. 정리의 반례가 아닌 경우에 대한 명확화

다음의 상황을 혼동하지 않아야 한다.

혼동 1: “서로 다른 고유값의 고유벡터가 직교한다“는 일반적으로 거짓이다. 직교성은 대칭 행렬(자기 수반 연산자)에서만 보장된다. 정리는 일차독립성만 보장한다.

혼동 2: “고유벡터가 일차독립이면 고유값이 다르다“는 역명제로서 거짓이다. 동일 고유값의 고유벡터도 일차독립일 수 있다.

7. 직합 구조와의 관계

정리의 핵심적 귀결은 서로 다른 고유값의 고유 공간이 **직합(direct sum)**을 이룬다는 것이다.

$E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2} + \cdots + E_{\lambda_k} = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$

이 직합의 차원은

$\dim\left(\bigoplus_{i=1}^k E_{\lambda_i}\right) = \sum_{i=1}^k \dim(E_{\lambda_i}) = \sum_{i=1}^k d_i$

이며, 대각화 가능할 필요충분조건은 이 직합이 전체 공간 $\mathbb{F}^n$ 과 같은 것이다.

8. 응용: 대각화 판별의 실용적 전략

이 정리에 기반한 대각화 판별의 실용적 전략은 다음과 같다.

1단계. 특성 다항식을 구하여 고유값과 대수적 중복도를 결정한다.

2단계. 모든 고유값이 단순(대수적 중복도 1)이면 즉시 대각화 가능으로 판정한다(정리의 직접 적용).

3단계. 중복 고유값이 존재하면 해당 고유 공간의 차원(기하적 중복도)을 계산하여 대수적 중복도와 비교한다.

이 전략에서 2단계는 기하적 중복도의 계산 없이도 대각화 가능성을 판정할 수 있어 계산 효율이 높다.