30.12 고유벡터의 선형 독립성 조건과 증명

1. 동일 고유값에 대한 고유벡터의 선형 독립성

1.1 고유벡터의 일차결합

관찰. 동일한 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 두 고유벡터 $v_1$ , $v_2$ 의 비영 일차결합 $\alpha v_1 + \beta v_2$ ( $\alpha v_1 + \beta v_2 \neq 0$ )도 같은 고유값 $\lambda$ 의 고유벡터이다.

$A(\alpha v_1 + \beta v_2) = \alpha Av_1 + \beta Av_2 = \alpha \lambda v_1 + \beta \lambda v_2 = \lambda(\alpha v_1 + \beta v_2)$

따라서 동일 고유값의 고유벡터 사이에서는 일차독립/일차종속이 모두 가능하다. 고유 공간 $E_\lambda$ 의 기저가 해당 고유값에 대한 최대 일차독립 고유벡터 집합이다.

1.2 고유 공간 내 일차독립 고유벡터의 최대 수

고유값 $\lambda$ 에 대한 일차독립 고유벡터의 최대 수는 기하학적 중복도 $d = \dim(E_\lambda)$ 이다. $E_\lambda$ 의 임의의 기저 $\{v_1, \ldots, v_d\}$ 가 이 최대 집합을 구성한다.

2. 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터의 선형 독립성

2.1 핵심 정리

정리. $A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ 의 서로 다른 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 에 대응하는 고유벡터 $v_1, v_2, \ldots, v_k$ 는 일차독립이다.

2.2 증명

$k$ 에 대한 수학적 귀납법으로 증명한다.

기저 단계 ( $k = 1$ ). $v_1$ 은 고유벡터이므로 $v_1 \neq 0$ 이다. 따라서 $\{v_1\}$ 은 일차독립이다.

귀납 단계. $k - 1$ 개의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터가 일차독립이라고 가정하자. 서로 다른 $k$ 개의 고유값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 에 대응하는 고유벡터 $v_1, \ldots, v_k$ 에 대하여

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0 \quad \cdots (*)$

이라 가정하라. $(*)$ 의 양변에 $A$ 를 적용하면

$c_1 \lambda_1 v_1 + c_2 \lambda_2 v_2 + \cdots + c_k \lambda_k v_k = 0 \quad \cdots (**)$

$(**) - \lambda_k \cdot (*)$ 을 계산하면

$c_1(\lambda_1 - \lambda_k) v_1 + c_2(\lambda_2 - \lambda_k) v_2 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k) v_{k-1} = 0 \quad \cdots (***)$

귀납 가설에 의하여 $\{v_1, \ldots, v_{k-1}\}$ 은 일차독립이다. 따라서 $(***)$ 에서

$c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, k-1$

$\lambda_i \neq \lambda_k$ ( $i = 1, \ldots, k-1$ )이므로 $c_i = 0$ ( $i = 1, \ldots, k-1$ ).

$(*)$ 에 대입하면 $c_k v_k = 0$ 이고 $v_k \neq 0$ 이므로 $c_k = 0$ 이다.

따라서 $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$ 이며, $\{v_1, \ldots, v_k\}$ 은 일차독립이다. $\blacksquare$

3. 일반화: 고유 공간 기저의 합집합

3.1 정리

정리. 서로 다른 고유값 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 에 대하여, 각 고유 공간 $E_{\lambda_i}$ 의 기저 $\mathcal{B}_i = \{v_{i,1}, \ldots, v_{i,d_i}\}$ 를 취하면, 합집합

$\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 \cup \cdots \cup \mathcal{B}_k$

는 일차독립이다.

3.2 증명

$\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{d_i} c_{ij} v_{ij} = 0$

이라 하자. 각 고유 공간별로 묶으면

$\sum_{i=1}^k w_i = 0, \quad w_i = \sum_{j=1}^{d_i} c_{ij} v_{ij} \in E_{\lambda_i}$

서로 다른 고유값의 고유 공간의 합이 직합이므로 $w_i = 0$ ( $\forall i$ ). 각 $w_i = 0$ 에서 $\mathcal{B}_i$ 가 $E_{\lambda_i}$ 의 기저(따라서 일차독립)이므로 $c_{ij} = 0$ ( $\forall j$ ). 따라서 모든 계수가 $0$ 이다. $\blacksquare$

4. 일차독립 고유벡터의 최대 수

위 정리의 직접적 귀결로, 행렬 $A$ 의 일차독립 고유벡터의 최대 수는

$\sum_{i=1}^k d_i = \sum_{i=1}^k \dim(E_{\lambda_i})$

이다. $A$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은 이 합이 $n$ 인 것이다.

5. 충분조건: $n$ 개의 서로 다른 고유값

따름정리. $n \times n$ 행렬이 $n$ 개의 서로 다른 고유값을 가지면 대각화 가능하다.

증명. 서로 다른 $n$ 개의 고유값에 대응하는 $n$ 개의 고유벡터가 일차독립이므로 $\mathbb{F}^n$ 의 기저를 이룬다. $\blacksquare$

이 조건은 충분조건이지 필요조건이 아니다. 중복 고유값이 있어도 $d_i = m_i$ 이면 대각화 가능하다.

6. 구체적 예시

6.1 예시 1: 세 고유벡터의 일차독립성 확인

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$v_1 = e_1$ , $v_2 = e_2$ , $v_3 = e_3$ . 고유값 $1, 2, 3$ 이 모두 다르므로 정리에 의해 일차독립. $\det(v_1 \mid v_2 \mid v_3) = 1 \neq 0$ 으로도 확인 가능.

6.2 예시 2: 중복 고유값에서의 일차독립 고유벡터

$A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$E_5 = \text{span}\{e_1, e_2\}$ 의 기저: $\{e_1, e_2\}$ . $E_3 = \text{span}\{e_3\}$ 의 기저: $\{e_3\}$ .

$\{e_1, e_2, e_3\}$ 은 일차독립이다. $e_1$ 과 $e_2$ 는 동일한 고유값에 속하지만 고유 공간의 기저 원소이므로 일차독립이며, $e_3$ 는 다른 고유값에 속하므로 정리에 의해 $\{e_1, e_2\}$ 와도 일차독립이다.

6.3 예시 3: 일차독립 고유벡터가 부족한 경우

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

유일한 고유값 $\lambda = 2$ . $E_2 = \text{span}\{e_1\}$ . 일차독립 고유벡터는 최대 $1$ 개이다. $n = 2$ 개의 일차독립 고유벡터를 확보할 수 없으므로 대각화 불가능하다.

7. 일차독립성과 대각화의 종합적 관계

조건	일차독립 고유벡터 수	대각화 가능 여부
$n$ 개의 서로 다른 고유값	$n$ 개	가능
중복 고유값 존재, $d_i = m_i$ ( $\forall i$ )	$\sum d_i = n$ 개	가능
중복 고유값 존재, 어떤 $i$ 에서 $d_i < m_i$	$\sum d_i < n$ 개	불가능

고유벡터의 일차독립성 정리는 고유값 이론 전체의 구조적 토대이며, 대각화 이론, 스펙트럼 분해, 조르당 표준형으로 이어지는 모든 결과의 출발점이다.