30.11 고유 공간(Eigenspace)의 정의와 부분 공간으로서의 성질

1. 고유 공간의 형식적 정의

$A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ 의 고유값 $\lambda$ 에 대한 고유 공간(eigenspace) $E_\lambda$ 는 다음과 같이 정의된다.

$E_\lambda = \ker(A - \lambda I) = \{v \in \mathbb{F}^n \mid Av = \lambda v\}$

$E_\lambda$ 는 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 모든 고유벡터와 영 벡터를 포함한다. 고유벡터의 집합은 $E_\lambda \setminus \{0\}$ 이다.

2. 부분 공간 성질의 증명

정리. $E_\lambda$ 는 $\mathbb{F}^n$ 의 부분 공간이다.

증명. 부분 공간의 세 조건을 확인한다.

(1) 영 벡터 포함: $A \cdot 0 = 0 = \lambda \cdot 0$ 이므로 $0 \in E_\lambda$ .

(2) 덧셈에 대한 닫힘: $v_1, v_2 \in E_\lambda$ 이면 $Av_1 = \lambda v_1$ , $Av_2 = \lambda v_2$ 이다.

$A(v_1 + v_2) = Av_1 + Av_2 = \lambda v_1 + \lambda v_2 = \lambda(v_1 + v_2)$

따라서 $v_1 + v_2 \in E_\lambda$ .

(3) 스칼라 곱에 대한 닫힘: $v \in E_\lambda$ 이고 $\alpha \in \mathbb{F}$ 이면

$A(\alpha v) = \alpha (Av) = \alpha (\lambda v) = \lambda (\alpha v)$

따라서 $\alpha v \in E_\lambda$ . $\blacksquare$

$E_\lambda$ 가 부분 공간이라는 사실은 $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$ 라는 표현으로부터도 즉시 도출된다. 선형 변환의 핵은 항상 부분 공간이기 때문이다.

3. 고유 공간의 차원

$E_\lambda$ 의 차원이 기하학적 중복도이다.

$\dim(E_\lambda) = n - \text{rank}(A - \lambda I) = \text{nullity}(A - \lambda I)$

차원 정리(rank-nullity theorem)의 직접적 적용이다.

4. 불변 부분 공간으로서의 성질

정리. $E_\lambda$ 는 $A$ 에 의한 **불변 부분 공간(invariant subspace)**이다.

증명. $v \in E_\lambda$ 이면 $Av = \lambda v \in E_\lambda$ ( $\lambda v$ 는 $E_\lambda$ 의 원소). $\blacksquare$

더 강하게, $A$ 의 $E_\lambda$ 위로의 제한(restriction) $A|_{E_\lambda}$ 는 스칼라 변환 $\lambda \cdot \text{id}_{E_\lambda}$ 이다.

5. 서로 다른 고유값의 고유 공간 간의 관계

5.1 직합 성질

정리. 서로 다른 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 에 대응하는 고유 공간의 합은 **직합(direct sum)**이다.

$E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2} + \cdots + E_{\lambda_k} = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$

증명. 서로 다른 고유값의 고유벡터들은 일차독립이므로, $E_{\lambda_i} \cap \left(\sum_{j \neq i} E_{\lambda_j}\right) = \{0\}$ 이 모든 $i$ 에 대하여 성립한다. 이는 합이 직합의 정의를 만족함을 의미한다. $\blacksquare$

5.2 교집합

서로 다른 고유값 $\lambda_i \neq \lambda_j$ 에 대하여

$E_{\lambda_i} \cap E_{\lambda_j} = \{0\}$

증명. $v \in E_{\lambda_i} \cap E_{\lambda_j}$ 이면 $Av = \lambda_i v$ 이고 $Av = \lambda_j v$ 이므로 $\lambda_i v = \lambda_j v$ , 즉 $(\lambda_i - \lambda_j)v = 0$ . $\lambda_i \neq \lambda_j$ 이므로 $v = 0$ . $\blacksquare$

6. 대각화와 고유 공간 분해

$A$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은

$\mathbb{F}^n = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$

즉, 전체 공간이 고유 공간의 직합으로 분해되는 것이다. 이 경우 $\sum_{i=1}^k \dim(E_{\lambda_i}) = n$ 이다.

7. 구체적 예시

7.1 예시 1: 2차원 고유 공간

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

$E_3 = \text{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}$ : $xy$ 평면 전체. $\dim(E_3) = 2$ .

$E_7 = \text{span}\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ : $z$ 축. $\dim(E_7) = 1$ .

$\mathbb{R}^3 = E_3 \oplus E_7$ . $\checkmark$

7.2 예시 2: 1차원 고유 공간만 존재하는 결손 행렬

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\lambda = 2$ (대수적 중복도 2). $E_2 = \text{span}\{e_1\}$ . $\dim(E_2) = 1 < 2$ .

$\mathbb{R}^2 \neq E_2$ (전체 공간이 고유 공간으로 분해되지 않는다). 대각화 불가능.

8. 고유 공간과 사영 연산자

$A$ 가 대각화 가능하고 고유 공간 분해 $\mathbb{F}^n = \bigoplus_{i=1}^k E_{\lambda_i}$ 가 성립할 때, 각 고유 공간 $E_{\lambda_i}$ 로의 사영 연산자(projection operator) $\Pi_i$ 가 정의된다.

$\Pi_i \Pi_j = \delta_{ij} \Pi_i, \quad \sum_{i=1}^k \Pi_i = I$

이를 이용한 스펙트럼 분해는

$A = \sum_{i=1}^k \lambda_i \Pi_i$

이다. 대칭 행렬의 경우 사영 $\Pi_i$ 는 직교 사영이 되며, 이것이 스펙트럼 정리의 핵심 내용이다.

9. 일반화된 고유 공간

대각화 불가능한 행렬에 대해서는 **일반화된 고유 공간(generalized eigenspace)**이 정의된다.

$G_\lambda = \ker(A - \lambda I)^{m}$

여기서 $m$ 은 $\lambda$ 의 대수적 중복도이다. $\dim(G_\lambda) = m$ 이 항상 성립하며, 일반화된 고유 공간은 항상 전체 공간의 직합 분해를 제공한다.

$\mathbb{F}^n = G_{\lambda_1} \oplus G_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus G_{\lambda_k}$

이 분해는 조르당 표준형(Jordan normal form)의 존재를 보장하는 구조적 기반이다. $E_\lambda \subseteq G_\lambda$ 이며, $E_\lambda = G_\lambda$ 일 필요충분조건이 $d = m$ (대각화 가능)인 것이다.