30.10 대수적 중복도와 기하학적 중복도 간의 관계 증명
1. 핵심 부등식
정리. A \in M_{n \times n}(\mathbb{F})의 고유값 \lambda_0에 대하여, 기하학적 중복도 d와 대수적 중복도 m 사이에 다음의 부등식이 성립한다.
1 \leq d \leq m
2. 하한 d \geq 1의 증명
\lambda_0가 고유값이면 정의에 의하여 Av = \lambda_0 v를 만족하는 비영 벡터 v가 존재한다. 따라서 v \in E_{\lambda_0} = \ker(A - \lambda_0 I)이고 v \neq 0이므로 E_{\lambda_0} \neq \{0\}이다. 따라서 d = \dim(E_{\lambda_0}) \geq 1. \blacksquare
3. 상한 d \leq m의 증명
증명. d = \dim(E_{\lambda_0})라 하고, \{v_1, v_2, \ldots, v_d\}를 E_{\lambda_0}의 기저라 하자. 이를 \mathbb{F}^n 전체의 기저 \{v_1, \ldots, v_d, w_{d+1}, \ldots, w_n\}으로 확장하라.
P = (v_1 \mid \cdots \mid v_d \mid w_{d+1} \mid \cdots \mid w_n)으로 기저 변환 행렬을 구성하면, 유사 행렬 B = P^{-1}AP는 다음의 블록 구조를 갖는다.
B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_0 I_d & C \\ 0 & D \end{pmatrix}
여기서 \lambda_0 I_d는 d \times d 대각 블록이고, D는 (n-d) \times (n-d) 행렬이다.
블록 구조의 도출. Av_i = \lambda_0 v_i (i = 1, \ldots, d)이므로, B의 첫 d개 열은 \lambda_0 e_1, \ldots, \lambda_0 e_d이다. 이는 좌하단 블록이 0이고 좌상단 블록이 \lambda_0 I_d임을 의미한다.
A와 B는 유사하므로 동일한 특성 다항식을 갖는다. 블록 삼각 행렬의 특성 다항식에 의하여
p_A(\lambda) = p_B(\lambda) = \det(\lambda I_d - \lambda_0 I_d) \cdot \det(\lambda I_{n-d} - D) = (\lambda - \lambda_0)^d \cdot p_D(\lambda)
따라서 (\lambda - \lambda_0)^d가 p_A(\lambda)를 나눈다. 대수적 중복도 m은 (\lambda - \lambda_0)의 최대 거듭제곱 지수이므로
m \geq d
\blacksquare
4. 등호 조건
4.1 d = m인 경우
기하적 중복도와 대수적 중복도가 같으면, 해당 고유값에 대하여 행렬이 “완전히 대각화 가능“하다. 위 증명의 행렬 D의 특성 다항식 p_D(\lambda)에서 (\lambda - \lambda_0)가 인수로 나타나지 않는다. 즉, \lambda_0는 D의 고유값이 아니다.
4.2 d < m인 경우
기하적 중복도가 대수적 중복도보다 엄밀히 작으면, D가 \lambda_0를 고유값으로 가지며, 이에 대응하는 고유벡터가 원래의 고유 공간 밖에 있다. 이 경우 조르당 블록 구조가 발생한다.
5. 대각화 가능 조건의 증명
정리. A가 대각화 가능할 필요충분조건은 모든 고유값 \lambda_i에 대하여 d_i = m_i인 것이다.
증명.
(\Rightarrow) A가 대각화 가능하면 n개의 일차독립 고유벡터가 존재한다. 서로 다른 고유값의 고유벡터는 일차독립이고, 동일 고유값의 고유벡터 중 일차독립인 것의 최대 수가 d_i이다. 따라서
\sum_{i=1}^k d_i \geq n
그런데 d_i \leq m_i이고 \sum m_i = n이므로 \sum d_i \leq n이다. 양쪽 부등식으로부터 \sum d_i = n이고, d_i \leq m_i (\forall i)와 합이 같으므로 d_i = m_i (\forall i).
(\Leftarrow) d_i = m_i (\forall i)이면 일차독립 고유벡터의 총 수는 \sum d_i = \sum m_i = n이다. 서로 다른 고유값의 고유 공간은 직합이므로 이 n개의 고유벡터는 일차독립이며 \mathbb{F}^n의 기저를 이룬다. 따라서 A는 대각화 가능하다. \blacksquare
6. 부등식의 각 경우에 대한 예시
6.1 d = m = 1 (단순 고유값)
모든 단순 고유값에서 d = m = 1이 자명하게 성립한다.
6.2 d = m > 1 (대각화 가능한 중복 고유값)
A = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
\lambda = 5, m = 2, d = \dim(\ker(A - 5I)) = \dim(\ker(0)) = 2. d = m = 2.
6.3 1 = d < m = 2 (결손 행렬)
A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
\lambda = 5, m = 2. A - 5I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \text{rank} = 1, d = 2 - 1 = 1. d = 1 < m = 2.
6.4 1 < d < m (중간 결손)
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
\lambda = 3, m = 4. A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \text{rank} = 1, d = 4 - 1 = 3.
1 < d = 3 < m = 4. 결손은 m - d = 1이며, 이는 하나의 2 \times 2 조르당 블록에 기인한다.
7. 이론적 의의
1 \leq d \leq m 부등식은 고유값 이론의 가장 근본적인 결과 중 하나이다. 이 부등식은 다음을 보장한다.
첫째, 모든 고유값에 적어도 하나의 일차독립 고유벡터가 존재한다.
둘째, 고유벡터의 수가 대수적 중복도를 초과할 수 없다.
셋째, 대각화 가능성이 d = m의 등호 조건으로 완전히 특성화된다.
이 결과는 조르당 표준형 이론의 기반이 되며, 행렬의 구조를 고유값과 고유 공간의 차원만으로 상당 부분 결정할 수 있게 해 준다.